Докажите тождество: 6.9 а) (1/(x+y)+1/(x-y))/(1/(x+y)-1/(x-y))=-x/y; б) (2/x-(x-2)/(x²-x))/(3/x+(x+3)/(x²-x))=1/4

Я проверил оба пункта: это действительно тождества на области допустимых значений.

\[ \text{а) } \frac{\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}}{\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x-y}}=-\frac{x}{y} \]

при \(x\ne y,\ x\ne -y,\ y\ne 0\);

\[ \text{б) } \frac{\frac{2}{x}-\frac{x-2}{x^2-x}}{\frac{3}{x}+\frac{x+3}{x^2-x}}=\frac14 \]

при \(x\ne 0,\ x\ne 1\).

а) Преобразуем числитель и знаменатель

\[ \frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y} =\frac{(x-y)+(x+y)}{(x+y)(x-y)} =\frac{2x}{x^2-y^2}. \]

\[ \frac{1}{x+y}-\frac{1}{x-y} =\frac{(x-y)-(x+y)}{(x+y)(x-y)} =\frac{-2y}{x^2-y^2}. \]

Теперь делим:

\[ \frac{\frac{2x}{x^2-y^2}}{\frac{-2y}{x^2-y^2}} =\frac{2x}{-2y} =-\frac{x}{y}. \]

Тождество доказано.

б) Сначала разложим \(x^2-x\)

\[ x^2-x=x(x-1). \]

Числитель:

\[ \frac{2}{x}-\frac{x-2}{x(x-1)} =\frac{2(x-1)-(x-2)}{x(x-1)} =\frac{2x-2-x+2}{x(x-1)} =\frac{x}{x(x-1)} =\frac{1}{x-1}. \]

Знаменатель:

\[ \frac{3}{x}+\frac{x+3}{x(x-1)} =\frac{3(x-1)+(x+3)}{x(x-1)} =\frac{3x-3+x+3}{x(x-1)} =\frac{4x}{x(x-1)} =\frac{4}{x-1}. \]

Теперь делим:

\[ \frac{\frac{1}{x-1}}{\frac{4}{x-1}} =\frac14. \]

Тождество доказано.

Важно: тождество доказывают преобразованиями, а не подстановкой нескольких чисел. При этом нужно следить за ОДЗ: в пункте б) \(x\ne 0\) и \(x\ne 1\), иначе исходные дроби не определены.

Для проверки: при \(x=2\) левая часть пункта б) равна

\[ \frac{\frac22-\frac{0}{2}}{\frac32+\frac52} =\frac{1}{4}. \]

Подстановка подтверждает результат, но доказательством является именно преобразование выражений.