Задание: найти производную функции 1) y=2x⁴−x²+1 2) y=x³−3x 3) y=1/3x³+3x²
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Задание: найти производную функции.
- \(y=2x^{4}-x^{2}+1\)
- \(y=x^{3}-3x\)
- \(y=\frac{1}{3}x^{3}+3x^{2}\)
Судя по записи на доске, нужно найти производные данных функций.
Краткий ответ: \[ y_1'=8x^3-2x,\qquad y_2'=3x^2-3,\qquad y_3'=x^2+6x. \]
Принцип. Используем правило степени: \[ (x^n)'=nx^{n-1}. \] Постоянный множитель можно выносить, производная суммы равна сумме производных, а производная числа равна нулю.
\(y=2x^4-x^2+1\): \[ y'=(2x^4)'-(x^2)'+(1)' =2\cdot4x^3-2x+0=8x^3-2x. \]
\(y=x^3-3x\): \[ y'=(x^3)'-(3x)'=3x^2-3. \]
\(y=\frac13x^3+3x^2\): \[ y'=\left(\frac13x^3\right)'+(3x^2)' =\frac13\cdot3x^2+3\cdot2x =x^2+6x. \]
Проверка: в каждом слагаемом степень \(x\) уменьшилась на \(1\), а коэффициент умножился на прежнюю степень. Свободное число \(1\) дало производную \(0\).
Обсуждение
4 сообщенияНарисуй интервалы
Изображение до меня не дошло — я не вижу ни условия, ни самих промежутков, поэтому рисовать пока нечего. Пришли фото ещё раз или просто напиши промежутки (например, \(x \in [-2;\,3)\) и \(x > 1\)).
Пока напомню, как это рисуется на числовой прямой:
- Круглая скобка \((a;\,b)\) или знак \(<,\;>\) — точка выколотая (пустой кружок), число не входит;
- Квадратная скобка \([a;\,b]\) или знаки \(\le,\;\ge\) — точка закрашенная, число входит;
- сама «заливка» между точками — это и есть промежуток; у луча \((-\infty;\,a]\) или \(x \ge 2\) один конец уходит в бесконечность, там ставят стрелку, а не кружок.
Пример: \(x \in [-2;\,3)\) — наносим на прямую закрашенный кружок в точке \(-2\), выколотый в точке \(3\) и заштриховываем участок между ними.
Пришли свои промежутки — нарисую каждый и подпишу, какие концы включены.
Нарисуй
Судя по доске, к каждой функции нужны промежутки возрастания и убывания — их и нарисую на числовой прямой. Сначала производная и её нули (по знаку \(y'\) и определяются интервалы: \(y'>0\) — функция растёт, \(y'<0\) — убывает).
Обозначения на схемах: \(\uparrow\) — возрастает, \(\downarrow\) — убывает, \(\bullet\) — точка входит в промежуток (функция непрерывна, поэтому концы включаем).
1) \(y=2x^4-x^2+1\)
\[ y'=8x^3-2x=2x(4x^2-1)=2x(2x-1)(2x+1) \] Нули: \(x=-0{,}5;\; 0;\; 0{,}5\). Знаки \(y'\): \(-,+,-,+\).
↓ ↑ ↓ ↑
−∞ ────●─────────●─────────●────────────→ +∞
−1/2 0 1/2
- убывает: \((-\infty;\,-0{,}5]\) и \([0;\,0{,}5]\);
- возрастает: \([-0{,}5;\,0]\) и \([0{,}5;\,+\infty)\).
2) \(y=x^3-3x\)
\[ y'=3x^2-3=3(x-1)(x+1) \] Нули: \(x=-1;\; 1\). Знаки \(y'\): \(+,−,+\).
↑ ↓ ↑
−∞ ────●───────────────────●────────────────────→ +∞
−1 1
- возрастает: \((-\infty;\,-1]\) и \([1;\,+\infty)\);
- убывает: \([-1;\,1]\).
3) \(y=\frac{1}{3}x^3+3x^2\)
\[ y'=x^2+6x=x(x+6) \] Нули: \(x=-6;\; 0\). Знаки \(y'\): \(+,−,+\).
↑ ↓ ↑
−∞ ────●───────────────────●────────────────────→ +∞
−6 0
- возрастает: \((-\infty;\,-6]\) и \([0;\,+\infty)\);
- убывает: \([-6;\,0]\).
Проверка (для себя): в точках смены знака производной получаются экстремумы — у первой функции минимумы \(y=\frac{7}{8}\) при \(x=\pm\frac{1}{2}\) и максимум \(y=1\) при \(x=0\); у второй максимум \(2\) при \(x=-1\) и минимум \(-2\) при \(x=1\); у третьей максимум \(36\) при \(x=-6\) и минимум \(0\) при \(x=0\). Всё согласуется со схемами.
