2 вариант 1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=14, AB=50. Найдите cos B.

Краткие ответы по всем шести пунктам:

1. \(\cos B=\frac{7}{25}\)
2. \(AC=20\)
3. \(\sin A=\frac{1}{8}\)
4. \(S=42\)
5. \(AC=8\)
6. \(\cos\angle ABC=\frac{7}{8}\)

Как это получается

1. Угол \(C=90^\circ\), значит \(AB\) — гипотенуза. Для угла \(B\) прилежащий катет — \(BC\): \[ \cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{14}{50}=\frac{7}{25}. \]

2. В прямоугольном треугольнике \[ \sin B=\frac{AC}{AB}. \] Отсюда \[ AC=AB\sin B=55\cdot\frac{4}{11}=20. \]

3. Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 A+\cos^2 A=1. \] Тогда \[ \sin A=\sqrt{1-\left(\frac{3\sqrt7}{8}\right)^2} =\sqrt{1-\frac{63}{64}} =\sqrt{\frac{1}{64}}=\frac18. \] Угол острый, поэтому значение положительное.

4. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними: \[ S=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot\sin\angle ABC. \] Подставляем: \[ S=\frac12\cdot9\cdot16\cdot\frac{7}{12}=42. \]

5. По теореме синусов: \[ \frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}. \] Отсюда \[ AC=\frac{BC\sin B}{\sin A} =\frac{8\sqrt2\cdot\frac12}{\frac{\sqrt2}{2}}=8. \]

6. По теореме косинусов: \[ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos\angle ABC. \] Подставляем: \[ 4^2=6^2+8^2-2\cdot6\cdot8\cdot\cos\angle ABC, \] \[ 16=100-96\cos\angle ABC, \] \[ \cos\angle ABC=\frac{84}{96}=\frac78. \]

Проверка. В №2: \(\sin B=\frac{20}{55}=\frac{4}{11}\). В №3: \(\left(\frac18\right)^2+\left(\frac{3\sqrt7}{8}\right)^2=1\). В №6: \(6^2+8^2-2\cdot6\cdot8\cdot\frac78=16=4^2\), значит \(AC=4\) — сходится.