Вариант 2 1.В треугольнике ABC известно, что AB = 5, BC = 10, AC = 11. Найдите cos ∠ ABC.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант 2

1.В треугольнике ABC известно, что $AB = 5$, $BC = 10$, $AC = 11$. Найдите $\cos \angle ABC$.
[Рисунок: треугольник ABC; вершина B вверху, A слева, C справа.]

2. Два катета прямоугольного треугольника равны 18 и 3. Найдите площадь этого треугольника.
[Рисунок: прямоугольный треугольник, отмечен прямой угол.]

3. В прямоугольном треугольнике ABC угол A равен $90^\circ$, $AB = 5$, $AC = 12$. Найдите BC.
[Рисунок: треугольник ABC; угол A отмечен прямым; A вверху, B слева внизу, C справа внизу.]

4. В треугольнике два угла равны $72^\circ$ и $78^\circ$. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
[Рисунок: треугольник.]

5. В треугольнике ABC известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 142^\circ$.Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.
[Рисунок: равнобедренный треугольник ABC; на сторонах AB и BC отмечены равные штрихи; B вверху, A слева внизу, C справа внизу.]

Answer

Краткие ответы:

1. $\cos\angle ABC=0{,}04$

2. $S=27$ кв. ед.

3. $BC=13$

4. $30^\circ$

5. $\angle BCA=19^\circ$

Как решать

1. Угол $B$ лежит против стороны $AC$, поэтому применяем теорему косинусов:
$$
AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos\angle ABC.
$$
Отсюда
$$
\cos\angle ABC=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}
=\frac{5^2+10^2-11^2}{2\cdot5\cdot10}
=\frac{4}{100}=0{,}04.
$$
Проверка:
$$
5^2+10^2-2\cdot5\cdot10\cdot0{,}04=125-4=121=11^2.
$$

2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
$$
S=\frac12\cdot18\cdot3=27.
$$

3. Угол $A$ прямой, значит $BC$ — гипотенуза:
$$
BC=\sqrt{AB^2+AC^2}
=\sqrt{5^2+12^2}
=\sqrt{169}=13.
$$

4. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:
$$
180^\circ-72^\circ-78^\circ=30^\circ.
$$

5. Так как $AB=BC$, треугольник равнобедренный, углы при основании $AC$ равны:
$$
\angle BAC=\angle BCA.
$$
Поэтому
$$
\angle BCA=\frac{180^\circ-142^\circ}{2}=19^\circ.
$$

Главное: при трёх известных сторонах и угле используй теорему косинусов; в прямоугольном треугольнике — теорему Пифагора; в равнобедренном — равенство углов при основании.