4) Оп-ть совместность, решить x+2y=7, 2x-3y=5; 5x-8y=0, x-1,6y=1; 5) 3x-4y+2z=2, 4x-5y+2z=1, 5x-6y+4z=3

На фото несколько пунктов. Полностью читаются и решаются №4 и №5; в №1–3 в кадре нет нужных матриц или исходных данных, поэтому по этому фото их не восстановить.

Краткий ответ

• №4, первая система: совместна, имеет единственное решение
  \[ x=\frac{31}{7},\qquad y=\frac{9}{7}. \]
• №4, вторая система: несовместна, решений нет.
• №5:
  \[ x=-3,\qquad y=-2,\qquad z=\frac{3}{2}. \]

№4. Совместность и решение

Первая система

\[ \begin{cases} x+2y=7,\\ 2x-3y=5. \end{cases} \]

По методу Крамера: \[ \Delta= \begin{vmatrix} 1&2\\ 2&-3 \end{vmatrix} =-3-4=-7, \] \[ \Delta_x= \begin{vmatrix} 7&2\\ 5&-3 \end{vmatrix} =-21-10=-31, \] \[ \Delta_y= \begin{vmatrix} 1&7\\ 2&5 \end{vmatrix} =5-14=-9. \]

Так как \(\Delta\ne0\), решение единственное: \[ x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{-31}{-7}=\frac{31}{7}, \qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{-9}{-7}=\frac{9}{7}. \]

Проверка: \[ \frac{31}{7}+2\cdot\frac{9}{7}=7, \qquad 2\cdot\frac{31}{7}-3\cdot\frac{9}{7}=5. \]

Система совместна и определённа.

Вторая система

\[ \begin{cases} 5x-8y=0,\\ x-1{,}6y=1. \end{cases} \]

Умножим второе уравнение на \(5\): \[ 5x-8y=5. \]

А первое уравнение требует: \[ 5x-8y=0. \]

Получаем \(0=5\), что невозможно. Значит, система несовместна, решений нет.

№5. Система трёх уравнений

\[ \begin{cases} 3x-4y+2z=2,\\ 4x-5y+2z=1,\\ 5x-6y+4z=3. \end{cases} \]

Метод Крамера

Главный определитель: \[ D= \begin{vmatrix} 3&-4&2\\ 4&-5&2\\ 5&-6&4 \end{vmatrix} =2\ne0. \] Значит, решение единственное.

Определители с заменой столбцов: \[ D_x=-6,\qquad D_y=-4,\qquad D_z=3. \]

Тогда: \[ x=\frac{D_x}{D}=\frac{-6}{2}=-3, \] \[ y=\frac{D_y}{D}=\frac{-4}{2}=-2, \] \[ z=\frac{D_z}{D}=\frac{3}{2}. \]

Метод Гаусса

Вычтем первое уравнение из второго: \[ x-y=-1. \]

Вычтем второе уравнение из третьего: \[ x-y+2z=2. \]

Подставим \(x-y=-1\): \[ -1+2z=2, \] \[ 2z=3, \qquad z=\frac{3}{2}. \]

Из \(x-y=-1\) получаем \(y=x+1\). Подставим в первое уравнение: \[ 3x-4(x+1)+2\cdot\frac{3}{2}=2, \] \[ 3x-4x-4+3=2, \] \[ -x-1=2, \] \[ x=-3. \]

Тогда: \[ y=-3+1=-2. \]

Проверка

\[ 3(-3)-4(-2)+2\cdot\frac{3}{2}=2, \] \[ 4(-3)-5(-2)+2\cdot\frac{3}{2}=1, \] \[ 5(-3)-6(-2)+4\cdot\frac{3}{2}=3. \]

Всё сходится: \[ x=-3,\qquad y=-2,\qquad z=\frac{3}{2}. \]

Если нужен разбор №1–3, их надо сфотографировать крупнее: там не видны полные условия.