Хорды AB и CD пересекаются в точке P. AP = 2, PB = 8, CP = 4. Найдите PD.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА Четыре задания на три теоремы Запишите ответы, а затем проверьте себя на следующем слайде
1 Хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(P\). \(AP = 2\), \(PB = 8\), \(CP = 4\). Найдите \(PD\).
2 Из точки \(M\) проведены секущие \(MAB\) и \(MCD\). \(MA = 3\), \(AB = 5\), \(MC = 4\). Найдите \(CD\).
3 \(MT = 6\) — касательная, \(MA = 3\) — внешняя часть секущей. Найдите \(MB\) и \(AB\).
4 Хорды пересекаются в точке \(P\). \(AP = 3\), \(PB = 12\), \(CD = 13\), причём \(CP < PD\). Найдите \(CP\) и \(PD\).
Краткий ответ
| № | Ответ |
|---|---|
| 1 | \(PD = 4\) |
| 2 | \(CD = 2\) |
| 3 | \(MB = 12\), \(AB = 9\) |
| 4 | \(CP = 4\), \(PD = 9\) |
Какие три теоремы здесь работают
- Две хорды пересекаются в точке \(P\): \[AP\cdot PB = CP\cdot PD\]
- Две секущие из внешней точки \(M\): \[MA\cdot MB = MC\cdot MD\] (берётся вся секущая — \(MB\) и \(MD\), а не только её внутренняя часть).
- Касательная и секущая из точки \(M\): \[MT^{2} = MA\cdot MB\]
Все три — следствие подобия треугольников: равные вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, дают равные отношения сторон. Поэтому запоминать нужно не четыре формулы, а одну идею: произведения отрезков равны.
Разбор по заданиям
1. Хорды: \(2\cdot 8 = 4\cdot PD\), то есть \(16 = 4PD\), откуда \(PD = 4\). Проверка: \(2\cdot 8 = 16\) и \(4\cdot 4 = 16\). Сходится.
2. Сначала находим всю секущую: \(MB = MA + AB = 3 + 5 = 8\). Тогда \(MA\cdot MB = 3\cdot 8 = 24\). Значит \(4\cdot MD = 24\), \(MD = 6\). Внутренняя часть: \(CD = MD - MC = 6 - 4 = 2\). Проверка: \(3\cdot 8 = 4\cdot 6 = 24\).
3. \(MT^{2} = MA\cdot MB\): \(36 = 3\cdot MB\), значит \(MB = 12\). Тогда \(AB = MB - MA = 12 - 3 = 9\). Проверка: \(3\cdot 12 = 36 = 6^{2}\).
4. \(CP\cdot PD = AP\cdot PB = 3\cdot 12 = 36\), а по условию \(CP + PD = CD = 13\). Пусть \(CP = t\), тогда \(PD = 13 - t\) и \(t(13 - t) = 36\): \[t^{2} - 13t + 36 = 0,\quad t = 4 \text{ или } t = 9.\] Так как \(CP < PD\), получаем \(CP = 4\), \(PD = 9\). Проверка: \(4 + 9 = 13\), \(4\cdot 9 = 36\).
Главная ловушка: в заданиях 2 и 3 подставлять нужно длину всей секущей (\(MB\), \(MD\)), а не отрезок внутри круга — иначе ответ «не сходится».
