Реши задание на изображении
Краткий ответ
1.
а) \(A\cap B=\{9\}\)
б) \(A\cap C=\{9;12\}\)
в) \(B\cap C=\{3;9\}\)
г) \(A\cap B\cap C=\{9\}\)
д) \(A\cup B=\{3;9;12;15\}\)
е) \(A\cup C=\{3;6;9;12\}\)
ж) \(B\cup C=\{3;6;9;12;15\}\)
з) \(A\cup B\cup C=\{3;6;9;12;15\}\)
2. Все три задачи решили 5 учеников.
Как это получается
Задание 1
Пересечение \(A\cap B\) — это элементы, которые есть и в \(A\), и в \(B\).
Объединение \(A\cup B\) — это все элементы обоих множеств, но без повторений.
Например:
- \(A=\{9;12\}\), \(B=\{3;9;15\}\). Общий элемент только \(9\), поэтому
\[ A\cap B=\{9\}. \] - В объединение берём все числа из \(A\) и \(B\):
\[ A\cup B=\{3;9;12;15\}. \]
Аналогично получаются остальные пункты. Заметь: \(A\) целиком входит в \(C\), поэтому \(A\cap C=A\), а \(A\cup C=C\).
Задание 2
Пусть \(x\) — число учеников, решивших все три задачи.
Всего решил хотя бы одну задачу: \[ 40-3=37 \] учеников.
По формуле включений-исключений: \[ |A\cup G\cup T| =|A|+|G|+|T| -|A\cap G|-|A\cap T|-|G\cap T| +|A\cap G\cap T|. \]
Подставляем данные: \[ 37=20+18+18-7-9-8+x. \]
Считаем: \[ 37=56-24+x, \] \[ 37=32+x, \] \[ x=5. \]
Проверка:
Только алгебру решили \(20-7-9+5=9\) человек, только геометрию — \(8\), только тригонометрию — \(6\). Вместе с попарными и тройными пересечениями получается \(37\), плюс \(3\) ученика, не решивших ничего, — всего \(40\). Всё сходится.
Ответ: 5 учеников решили все три задачи.
Обсуждение
2 сообщениянапиши к 1 заданию развернутый ответ
Разберём задание 1 подробно.
Даны множества: \[ A=\{9;12\},\qquad B=\{3;9;15\},\qquad C=\{3;6;9;12\}. \]
Напомним:
- Пересечение \(A\cap B\) — это элементы, которые есть одновременно в обоих множествах.
- Объединение \(A\cup B\) — это все элементы обоих множеств, записанные без повторений.
- Порядок элементов во множестве не важен, но для удобства записываем их по возрастанию.
а) Пересечение \(A\) и \(B\)
\[ A=\{9;12\},\qquad B=\{3;9;15\}. \]
Общий элемент только один — \(9\).
Значит:
\[ \boxed{A\cap B=\{9\}} \]
б) Пересечение \(A\) и \(C\)
\[ A=\{9;12\},\qquad C=\{3;6;9;12\}. \]
Оба элемента множества \(A\), то есть \(9\) и \(12\), входят в \(C\). Поэтому:
\[ \boxed{A\cap C=\{9;12\}} \]
То есть \(A\cap C=A\). Это видно и потому, что всё множество \(A\) содержится в \(C\): \(A\subset C\).
в) Пересечение \(B\) и \(C\)
\[ B=\{3;9;15\},\qquad C=\{3;6;9;12\}. \]
Проверяем элементы \(B\):
- \(3\) есть в \(C\);
- \(9\) есть в \(C\);
- \(15\) в \(C\) нет.
Значит:
\[ \boxed{B\cap C=\{3;9\}} \]
г) Пересечение \(A\), \(B\) и \(C\)
Нужны элементы, которые входят во все три множества.
Можно сначала взять \(A\cap B=\{9\}\). Этот элемент \(9\) есть и в \(C\). Поэтому:
\[ \boxed{A\cap B\cap C=\{9\}} \]
Только число \(9\) является общим для всех трёх множеств.
д) Объединение \(A\) и \(B\)
Выписываем все элементы \(A\) и \(B\):
\[ A\cup B=\{9;12\}\cup\{3;9;15\}. \]
Получаем числа \(9;12;3;9;15\). Число \(9\) повторяется, поэтому записываем его один раз:
\[ \boxed{A\cup B=\{3;9;12;15\}} \]
е) Объединение \(A\) и \(C\)
\[ A\cup C=\{9;12\}\cup\{3;6;9;12\}. \]
Все элементы \(A\) уже содержатся в \(C\), поэтому объединение совпадает с множеством \(C\):
\[ \boxed{A\cup C=\{3;6;9;12\}} \]
ж) Объединение \(B\) и \(C\)
\[ B\cup C=\{3;9;15\}\cup\{3;6;9;12\}. \]
Собираем все элементы:
\[ 3;9;15;3;6;9;12. \]
Убираем повторы \(3\) и \(9\), получаем:
\[ \boxed{B\cup C=\{3;6;9;12;15\}} \]
з) Объединение \(A\), \(B\) и \(C\)
Собираем все элементы трёх множеств:
\[ A\cup B\cup C =\{9;12\}\cup\{3;9;15\}\cup\{3;6;9;12\}. \]
Получаем числа:
\[ 9;12;3;9;15;3;6;9;12. \]
Без повторений:
\[ \boxed{A\cup B\cup C=\{3;6;9;12;15\}} \]
Это то же самое, что \(B\cup C\), поскольку элементы \(A\) уже входят в \(C\).
Итоговые ответы
\[ \begin{aligned} &\text{а) } A\cap B=\{9\};\\ &\text{б) } A\cap C=\{9;12\};\\ &\text{в) } B\cap C=\{3;9\};\\ &\text{г) } A\cap B\cap C=\{9\};\\ &\text{д) } A\cup B=\{3;9;12;15\};\\ &\text{е) } A\cup C=\{3;6;9;12\};\\ &\text{ж) } B\cup C=\{3;6;9;12;15\};\\ &\text{з) } A\cup B\cup C=\{3;6;9;12;15\}. \end{aligned} \]
Главное правило для похожих заданий:
пересечение — берём только общее, объединение — берём всё, но каждый элемент записываем один раз.
