Реши только первый вариант подробно с ответом

Решаю только левый столбец — 1 вариант, в нём три системы.

Краткий ответ

1. \((x;y;z)=(2;-1;-3)\)
2. \((x;y;z)=(-1;4;3)\)
3. \((x;y;z)=(1;4;5)\)

Общий принцип: расширенную матрицу системы приводим элементарными преобразованиями строк к виду с единицами на главной диагонали и нулями ниже неё, а затем находим неизвестные снизу вверх.

---

1) Первая система

\[ \begin{cases} 3x+5y+z=-2,\\ -2x-2y-3z=7,\\ x+4y+z=-5. \end{cases} \]

Запишем расширенную матрицу и поменяем местами первую и третью строки:

\[ \left(\begin{array}{ccc|c} 3&5&1&-2\\ -2&-2&-3&7\\ 1&4&1&-5 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c} 1&4&1&-5\\ -2&-2&-3&7\\ 3&5&1&-2 \end{array}\right). \]

Выполняем \(R_2\leftarrow R_2+2R_1\), \(R_3\leftarrow R_3-3R_1\):

\[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&4&1&-5\\ 0&6&-1&-3\\ 0&-7&-2&13 \end{array}\right). \]

Делим вторую строку на \(6\):

\[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&4&1&-5\\ 0&1&-\frac16&-\frac12\\ 0&-7&-2&13 \end{array}\right). \]

К третьей строке прибавляем \(7\) вторых строк:

\[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&4&1&-5\\ 0&1&-\frac16&-\frac12\\ 0&0&-\frac{19}{6}&\frac{19}{2} \end{array}\right). \]

Умножаем третью строку на \(-\frac6{19}\):

\[ \boxed{ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&4&1&-5\\ 0&1&-\frac16&-\frac12\\ 0&0&1&-3 \end{array}\right) } \]

Получен нужный треугольный вид с единицами на диагонали.

Обратная подстановка:

\[ z=-3. \]

Из второй строки:

\[ y-\frac16z=-\frac12, \quad y-\frac16(-3)=-\frac12, \quad y+\frac12=-\frac12, \quad y=-1. \]

Из первой строки:

\[ x+4y+z=-5, \] \[ x+4(-1)+(-3)=-5, \] \[ x-7=-5, \quad x=2. \]

Ответ:

\[ \boxed{(2;-1;-3)} \]

Проверка:

\[ 3\cdot2+5(-1)-3=-2,\quad -2\cdot2-2(-1)-3(-3)=7,\quad 2+4(-1)-3=-5. \]

---

2) Вторая система

\[ \begin{cases} x+y+z=6,\\ 3x-y+3z=2,\\ 4x+3y-z=5. \end{cases} \]

Расширенная матрица:

\[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 3&-1&3&2\\ 4&3&-1&5 \end{array}\right). \]

Выполняем \(R_2\leftarrow R_2-3R_1\), \(R_3\leftarrow R_3-4R_1\):

\[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&-4&0&-16\\ 0&-1&-5&-19 \end{array}\right). \]

Делим вторую строку на \(-4\):

\[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&1&0&4\\ 0&-1&-5&-19 \end{array}\right). \]

К третьей строке прибавляем вторую:

\[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&1&0&4\\ 0&0&-5&-15 \end{array}\right). \]

Делим третью строку на \(-5\):

\[ \boxed{ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&1&0&4\\ 0&0&1&3 \end{array}\right) } \]

Обратная подстановка:

\[ z=3,\qquad y=4. \]

Из первой строки:

\[ x+y+z=6, \] \[ x+4+3=6, \] \[ x=-1. \]

Ответ:

\[ \boxed{(-1;4;3)} \]

Проверка:

\[ -1+4+3=6,\quad 3(-1)-4+3\cdot3=2,\quad 4(-1)+3\cdot4-3=5. \]

---

3) Третья система

\[ \begin{cases} 3x-2y+2z=5,\\ 5x+y-3z=-6,\\ -2x+2y-z=1. \end{cases} \]

Расширенная матрица:

\[ \left(\begin{array}{ccc|c} 3&-2&2&5\\ 5&1&-3&-6\\ -2&2&-1&1 \end{array}\right). \]

Исключаем \(x\) из второй и третьей строк:

\[ R_2\leftarrow 3R_2-5R_1,\qquad R_3\leftarrow 3R_3+2R_1. \]

Получаем:

\[ \left(\begin{array}{ccc|c} 3&-2&2&5\\ 0&13&-19&-43\\ 0&2&1&13 \end{array}\right). \]

Делим первую строку на \(3\), а вторую на \(13\):

\[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&-\frac23&\frac23&\frac53\\ 0&1&-\frac{19}{13}&-\frac{43}{13}\\ 0&2&1&13 \end{array}\right). \]

Исключаем \(y\) из третьей строки:

\[ R_3\leftarrow R_3-2R_2. \]

\[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&-\frac23&\frac23&\frac53\\ 0&1&-\frac{19}{13}&-\frac{43}{13}\\ 0&0&\frac{51}{13}&\frac{255}{13} \end{array}\right). \]

Умножаем третью строку на \(\frac{13}{51}\):

\[ \boxed{ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&-\frac23&\frac23&\frac53\\ 0&1&-\frac{19}{13}&-\frac{43}{13}\\ 0&0&1&5 \end{array}\right) } \]

Обратная подстановка:

\[ z=5. \]

Из второй строки:

\[ y-\frac{19}{13}z=-\frac{43}{13}. \]

Подставляем \(z=5\):

\[ y-\frac{95}{13}=-\frac{43}{13}, \] \[ y=\frac{52}{13}=4. \]

Из первой строки:

\[ x-\frac23y+\frac23z=\frac53. \]

Подставляем \(y=4,\ z=5\):

\[ x-\frac83+\frac{10}{3}=\frac53, \] \[ x+\frac23=\frac53, \] \[ x=1. \]

Ответ:

\[ \boxed{(1;4;5)} \]

Проверка:

\[ 3-8+10=5,\quad 5+4-15=-6,\quad -2+8-5=1. \]

Итак, для первого варианта:

\[ \boxed{(2;-1;-3),\qquad (-1;4;3),\qquad (1;4;5)} \]