Докажите равенство треугольников ABC и ADC, если AD=BC, ∠1=∠2. Найдите углы ADC и ACD, если ∠BAC=32°, ∠ABC=108°.

Question

Реши

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант II.

[Рисунок: четырёхугольник ABCD; вершины B и C — сверху, A и D — снизу; проведена диагональ AC; угол при вершине A отмечен цифрой 1, при вершине C — цифрой 2.]

Докажите равенство треугольников ABC и ADC, если $AD=BC$, $\angle 1=\angle 2$.
Найдите углы ADC и ACD, если $\angle BAC=32^\circ$, $\angle ABC=108^\circ$.

Answer

Краткий ответ:
$$
\angle ADC=108^\circ,\qquad \angle ACD=32^\circ.
$$
Треугольники $ABC$ и $ADC$ равны; точнее, $\triangle ADC\cong\triangle CBA$.

Почему это так

По рисунку:
$$
\angle1=\angle DAC,\qquad \angle2=\angle BCA.
$$

Рассмотрим треугольники $ADC$ и $CBA$:

1. $AD=CB$ — по условию;

2. $AC=CA$ — общая сторона;

3. $\angle DAC=\angle BCA$ — по условию, так как $\angle1=\angle2$.

Равные углы находятся между соответствующими сторонами, поэтому по первому признаку равенства треугольников:
$$
\triangle ADC\cong\triangle CBA.
$$

При таком равенстве вершины соответствуют так:
$$
A\leftrightarrow C,\qquad D\leftrightarrow B,\qquad C\leftrightarrow A.
$$

Значит, соответствующие углы равны:
$$
\angle ADC=\angle CBA=\angle ABC=108^\circ,
$$
$$
\angle ACD=\angle CAB=\angle BAC=32^\circ.
$$

Проверка: в треугольнике $ADC$
$$
\angle DAC=180^\circ-108^\circ-32^\circ=40^\circ,
$$
поэтому $\angle1=\angle2=40^\circ$, и сумма углов действительно равна $180^\circ$.