Реши только первый вариант методом гаусса подробно с ответом

Краткий ответ (1 вариант):

1. \(x=2,\ y=-1,\ z=-3\);
2. \(x=-1,\ y=4,\ z=3\);
3. \(x=1,\ y=4,\ z=5\).

Метод Гаусса состоит из прямого хода (приведение расширенной матрицы к треугольному виду) и обратного хода (нахождение переменных снизу вверх). Элементарные преобразования строк — перестановка, умножение на число, прибавление к одной строке другой — не меняют решений системы.

Система 1

\[ \begin{cases} 3x+5y+z=-2,\\ -2x-2y-3z=7,\\ x+4y+z=-5. \end{cases} \] Расширенная матрица: \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 3&5&1&-2\\ -2&-2&-3&7\\ 1&4&1&-5 \end{array}\right) \] Прямой ход. Поменяем \(R_1\) и \(R_3\): \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&4&1&-5\\ -2&-2&-3&7\\ 3&5&1&-2 \end{array}\right) \] \(R_2 \leftarrow R_2+2R_1\): \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&4&1&-5\\ 0&6&-1&-3\\ 3&5&1&-2 \end{array}\right) \] \(R_3 \leftarrow R_3-3R_1\): \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&4&1&-5\\ 0&6&-1&-3\\ 0&-7&-2&13 \end{array}\right) \] Исключим \(y\) из третьей строки: \(R_3 \leftarrow 6R_3+7R_2\): \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&4&1&-5\\ 0&6&-1&-3\\ 0&0&-19&57 \end{array}\right) \] Разделим третью строку на \(-19\), а вторую на \(6\): \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&4&1&-5\\ 0&1&-\frac16&-\frac12\\ 0&0&1&-3 \end{array}\right) \] Обратный ход: \(z=-3\). Из второй строки: \(y-\frac16z=-\frac12\), значит \(y+\frac12=-\frac12\), откуда \(y=-1\). Из первой строки: \(x+4y+z=-5\), то есть \(x-4-3=-5\), откуда \(x=2\).

Ответ: \((2;-1;-3)\).

Проверка: \(3\cdot2+5\cdot(-1)+(-3)=-2\); \(-2\cdot2-2\cdot(-1)-3\cdot(-3)=7\); \(2+4\cdot(-1)+(-3)=-5\). Верно.

Система 2

\[ \begin{cases} x+y+z=6,\\ 3x-y+3z=2,\\ 4x+3y-z=5. \end{cases} \] \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 3&-1&3&2\\ 4&3&-1&5 \end{array}\right) \] \(R_2 \leftarrow R_2-3R_1\): \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&-4&0&-16\\ 4&3&-1&5 \end{array}\right) \] \(R_3 \leftarrow R_3-4R_1\): \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&-4&0&-16\\ 0&-1&-5&-19 \end{array}\right) \] Разделим вторую строку на \(-4\): \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&1&0&4\\ 0&-1&-5&-19 \end{array}\right) \] \(R_3 \leftarrow R_3+R_2\): \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&1&0&4\\ 0&0&-5&-15 \end{array}\right) \] Разделим третью строку на \(-5\): \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\ 0&1&0&4\\ 0&0&1&3 \end{array}\right) \] Обратный ход: \(z=3\), \(y=4\), \(x+4+3=6\), значит \(x=-1\).

Ответ: \((-1;4;3)\).

Проверка: \(-1+4+3=6\); \(3\cdot(-1)-4+3\cdot3=2\); \(4\cdot(-1)+3\cdot4-3=5\). Верно.

Система 3

\[ \begin{cases} 3x-2y+2z=5,\\ 5x+y-3z=-6,\\ -2x+2y-z=1. \end{cases} \] \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 3&-2&2&5\\ 5&1&-3&-6\\ -2&2&-1&1 \end{array}\right) \] Сложим первую и третью строки, чтобы получить ведущую единицу: \(R_1 \leftarrow R_1+R_3\): \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&1&6\\ 5&1&-3&-6\\ -2&2&-1&1 \end{array}\right) \] \(R_2 \leftarrow R_2-5R_1\): \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&1&6\\ 0&1&-8&-36\\ -2&2&-1&1 \end{array}\right) \] \(R_3 \leftarrow R_3+2R_1\): \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&1&6\\ 0&1&-8&-36\\ 0&2&1&13 \end{array}\right) \] \(R_3 \leftarrow R_3-2R_2\): \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&1&6\\ 0&1&-8&-36\\ 0&0&17&85 \end{array}\right) \] Разделим третью строку на \(17\): \[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&1&6\\ 0&1&-8&-36\\ 0&0&1&5 \end{array}\right) \] Обратный ход: \(z=5\). Из второй строки: \(y-8z=-36\), значит \(y-40=-36\), откуда \(y=4\). Из первой строки: \(x+z=6\), то есть \(x+5=6\), откуда \(x=1\).

Ответ: \((1;4;5)\).

Проверка: \(3\cdot1-2\cdot4+2\cdot5=5\); \(5\cdot1+4-3\cdot5=-6\); \(-2\cdot1+2\cdot4-5=1\). Верно.

Все промежуточные матрицы выше — это и есть вычисления «на черновике». В чистовик обычно переносят итоговую треугольную матрицу и обратный ход.