1. √(x+4)=√(2x−1). 2. √(x+1)=1−x. 3. √(x+10)=x−2. 4. √(x²−x−3)=3. 5. √(3x+4)−√x=2.

Краткий ответ

\[ 1)\ 5;\quad 2)\ 0;\quad 3)\ 6;\quad 4)\ \{-3,4\};\quad 5)\ \{0,4\};\quad 6)\ -3; \] \[ 7)\ 18;\quad 8)\ 8;\quad 9)\ 20;\quad 10)\ \frac34;\quad 11)\ -2;\quad 12)\ \{2,3\}. \]

Главное правило: после возведения в чётную степень могут появиться лишние корни, поэтому найденные значения нужно проверять по исходному уравнению. Для \(\sqrt{A}=B\) дополнительно требуется \(B\ge 0\).

Ключевые шаги

1. \(\sqrt{x+4}=\sqrt{2x-1}\).
   \(x+4=2x-1\), значит \(x=5\). Проверка сходится.

2. \(\sqrt{x+1}=1-x\).
   Нужно \(x\le 1\). После квадрата: \[ x+1=(1-x)^2 \Rightarrow x^2-3x=0. \] Получаем \(x=0\) или \(x=3\). Но \(3>1\), поэтому ответ: \(0\).

3. \(\sqrt{x+10}=x-2\).
   Нужно \(x\ge 2\). Возводим в квадрат: \[ x+10=(x-2)^2 \Rightarrow x^2-5x-6=0. \] Корни \(6\) и \(-1\). Подходит только \(6\).

4. \(\sqrt{x^2-x-3}=3\).
   \[ x^2-x-3=9 \Rightarrow x^2-x-12=0. \] Отсюда \(x=4\) и \(x=-3\). Оба подходят.

5. \(\sqrt{3x+4}-\sqrt{x}=2\).
   \[ \sqrt{3x+4}=\sqrt{x}+2. \] После квадрата: \[ 3x+4=x+4+4\sqrt{x}\Rightarrow x=2\sqrt{x}. \] Значит \(x=0\) или \(x=4\). Оба корня подходят.

6. \(\sqrt{12+x}-\sqrt{1-x}=1\).
   \[ \sqrt{12+x}=1+\sqrt{1-x}. \] После преобразований: \[ x+5=\sqrt{1-x}. \] Возводим в квадрат: \[ x^2+11x+24=0. \] Корни \(-3\) и \(-8\). Второй не подходит из-за условия \(x\ge -5\). Ответ: \(-3\).

7. \(\sqrt{x+7}+\sqrt{x-2}=9\).
   Обозначим radicals \(a\) и \(b\). Тогда \[ a+b=9,\qquad a^2-b^2=(x+7)-(x-2)=9. \] Поэтому \(a-b=1\), откуда \(a=5\), то есть \[ \sqrt{x+7}=5 \Rightarrow x=18. \]

8. \(\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+8}=1\).
   \[ \sqrt{3x+1}=1+\sqrt{x+8}. \] После квадрата: \[ x-4=\sqrt{x+8}. \] Возводим в квадрат: \[ x^2-9x+8=0. \] Корни \(1\) и \(8\), но нужен \(x\ge 4\). Ответ: \(8\).

9. \(\sqrt{2x-4}-\sqrt{x+5}=1\).
   \[ \sqrt{2x-4}=1+\sqrt{x+5}. \] После квадрата: \[ x-10=2\sqrt{x+5}. \] Возводим в квадрат: \[ x^2-24x+80=0. \] Корни \(4\) и \(20\), но нужно \(x\ge 10\). Ответ: \(20\).

10. \(\sqrt{7x-5}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{4x-3}\).
    После возведения в квадрат: \[ 3x-2=\sqrt{(7x-5)(3x-2)}. \] Ещё раз в квадрат: \[ (3x-2)^2=(7x-5)(3x-2). \] Отсюда \(x=\frac23\) или \(x=\frac34\). Но при \(x=\frac23\) первый подкоренной отрицателен. Ответ: \(\frac34\).

11. \(\sqrt[3]{19-x^3}=3\).
    \[ 19-x^3=27 \Rightarrow x^3=-8 \Rightarrow x=-2. \]

12. \(\sqrt[4]{13x^2-36}=x\).
    Корень четвёртой степени неотрицателен, поэтому \(x\ge 0\). Возводим в четвёртую степень: \[ 13x^2-36=x^4. \] Пусть \(t=x^2\): \[ t^2-13t+36=0 \Rightarrow t=4 \text{ или } t=9. \] С учётом \(x\ge 0\): \(x=2\) или \(x=3\).