реши:дано,решение

Задача 857

Дано: \(ABCD\) — прямоугольник, точка \(M\) лежит внутри него; \(MB=a,\ MC=b,\ MD=c\). Найти: \(MA\).

Решение:

Введём координаты: \[ A(0;0),\quad B(m;0),\quad C(m;n),\quad D(0;n),\quad M(x;y). \]

Тогда по теореме Пифагора: \[ MA^2=x^2+y^2, \] \[ MB^2=(m-x)^2+y^2=a^2, \] \[ MC^2=(m-x)^2+(n-y)^2=b^2, \] \[ MD^2=x^2+(n-y)^2=c^2. \]

Сложим \(MB^2\) и \(MD^2\): \[ MB^2+MD^2=(m-x)^2+y^2+x^2+(n-y)^2. \]

Сложим \(MA^2\) и \(MC^2\): \[ MA^2+MC^2=x^2+y^2+(m-x)^2+(n-y)^2. \]

Правые части равны, значит: \[ MA^2+MC^2=MB^2+MD^2. \]

Отсюда: \[ MA^2=b^2? \] точнее: \[ MA^2=MB^2+MD^2-MC^2=a^2+c^2-b^2. \]

Следовательно, \[ \boxed{MA=\sqrt{a^2+c^2-b^2}}. \]

Проверка: если \(M\) — центр прямоугольника, то \(a=b=c\), и получаем \(MA=\sqrt{a^2}=a\), что верно.