номер 569
Сверь числа и знаки с фото.
569 Пусть \(a\), \(b\), \(c\) — стороны треугольника, \(r\) — радиус вписанной окружности, \(P\) — периметр треугольника, \(S\) — площадь треугольника. Найдите: а) \(r\), если \(P = 56\), \(S = 84\); б) \(S\), если \(P = 144\), \(r = 3,5\); в) \(a\), если \(b = 15\), \(c = 20\), \(r = 2\), \(S = 42\).
Краткий ответ:
а) \(r=3\); б) \(S=252\); в) \(a=7\).
Для любого треугольника площадь связана с радиусом вписанной окружности и периметром так:
\[ S=\frac{1}{2}Pr \]
То есть \(S\) равна произведению радиуса \(r\) на полупериметр \(\frac{P}{2}\).
а) Дано \(P=56\), \(S=84\).
\[ r=\frac{2S}{P}=\frac{2\cdot 84}{56}=3 \]
б) Дано \(P=144\), \(r=3{,}5\).
\[ S=\frac{Pr}{2}=\frac{144\cdot 3{,}5}{2}=252 \]
в) Сначала найдём периметр:
\[ P=\frac{2S}{r}=\frac{2\cdot 42}{2}=42 \]
Теперь найдём сторону \(a\):
\[ a=P-b-c=42-15-20=7 \]
Проверка для в): треугольник со сторонами \(7\), \(15\), \(20\) существует, его полупериметр равен \(21\), а по формуле Герона площадь действительно \(42\), значит \(r=2\).
