AB=66 MA-? AB=25 AM?
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- [Рисунок: треугольник \(ABC\); \(M\) на \(AB\), \(N\) на \(BC\), проведён \(MN\).] \(MN=24\), \(AC=44\), \(AB=66\), \(MA-?\). 2) [Рисунок: треугольник \(ABC\); \(M\) на \(AB\), \(N\) на \(BC\), проведён \(MN\).] \(MN=12\), \(AC=30\), \(AB=25\), \(AM?\). 3) [Рисунок: треугольник \(ABC\); \(M\) на \(AB\), \(N\) на \(BC\), проведён \(MN\).] \(S_{ABC}=121\), \(S_{MBN}-?\), \(MN=24\), \(AC=44\). 4) [Рисунок: треугольник \(ABC\); \(M\) на \(AB\), \(N\) на \(BC\), проведён \(MN\).] \(S_{ABC}=162\), \(S_{MBN}?\), \(MN=28\), \(AC=36\). 5) [Рисунок: треугольник \(ABC\); \(M\) на \(AB\), \(N\) на \(BC\), проведён \(MN\); на \(BM\) и \(AM\) одинаковые штрихи, на \(BN\) и \(NC\) одинаковые штрихи.] \(AB=21\), \(BC=22\), \(AC=28\), \(MN-?\). 6) [Рисунок: треугольник \(ABC\); \(M\) на \(AB\), \(N\) на \(BC\), проведён \(MN\).] \(MN=14\), \(AC=21\), \(AB=24\), \(AM-?\). 7) [Рисунок: треугольник \(ABC\); \(M\) на \(AB\), \(N\) на \(BC\), проведён \(MN\).] \(MN=18\), \(AC=27\), \(AB=33\), \(AM-?\). 8) [Рисунок: треугольник \(ABC\); \(M\) на \(AB\), \(N\) на \(BC\), проведён \(MN\).] \(MN=8\), \(AC=18\), \(S_{ABC}=81\), \(S_{AMN}-?\).
Коротко (по рядам, слева направо):
- верхний ряд: \(AM=30\); \(AM=15\);
- второй ряд: \(S_{MBN}=36\); \(S_{MBN}=98\);
- третий ряд: \(MN=14\); \(AM=8\);
- четвёртый ряд: \(AM=11\); \(S_{AMN}=20\).
В последней записи я читаю \(S_{AMN}\). Если там стоит \(S_{MBN}\), то ответ был бы \(16\).
Почему так. Если \(MN\parallel AC\), то треугольники \(BMN\) и \(BAC\) подобны. Обозначим коэффициент подобия: \[ k=\frac{MN}{AC}=\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC}. \] Тогда \(BM=k\cdot AB\), \(AM=AB-BM\), а площади подобных треугольников относятся как \(k^2\).
\(k=\frac{24}{44}=\frac{6}{11}\),
\(BM=66\cdot\frac{6}{11}=36\),
\(AM=66-36=30\).\(k=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}\),
\(BM=25\cdot\frac{2}{5}=10\),
\(AM=25-10=15\).\(k=\frac{24}{44}=\frac{6}{11}\),
\(S_{MBN}=121\cdot\left(\frac{6}{11}\right)^2=36\).\(k=\frac{28}{36}=\frac{7}{9}\),
\(S_{MBN}=162\cdot\left(\frac{7}{9}\right)^2=98\).По штрихам \(M\) и \(N\) — середины \(AB\) и \(BC\), значит \(MN\) — средняя линия:
\[ MN=\frac{AC}{2}=\frac{28}{2}=14. \]
Данные \(AB=21\) и \(BC=22\) здесь лишние.\(k=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}\),
\(BM=24\cdot\frac{2}{3}=16\),
\(AM=24-16=8\).\(k=\frac{18}{27}=\frac{2}{3}\),
\(BM=33\cdot\frac{2}{3}=22\),
\(AM=33-22=11\).\(k=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}\). Значит,
\(\frac{BM}{BA}=\frac{4}{9}\), поэтому \(\frac{AM}{AB}=\frac{5}{9}\).
Площадь \(\triangle ABN\):
\[ S_{ABN}=81\cdot\frac{4}{9}=36. \]
У \(\triangle AMN\) и \(\triangle ABN\) общая высота из точки \(N\), поэтому
\[ S_{AMN}=36\cdot\frac{5}{9}=20. \]
Проверка для последнего: \(S_{MBN}=81\cdot\left(\frac{4}{9}\right)^2=16\), и \(20+16=36=S_{ABN}\).
