Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
На всех рисунках: [Рисунок: треугольник \(ABC\); \(M\) лежит на \(AB\), \(N\) лежит на \(BC\), отрезок \(MN\parallel AC\).]
- \(MN=24\), \(AC=44\); \(AB=66\); \(MA-?\)
- \(MN=12\), \(AC=30\); \(AB=25\); \(AM-?\)
- \(MN=24\), \(AC=44\); \(S_{ABC}=121\); \(S_{MBN}-?\)
- \(MN=28\), \(AC=36\); \(S_{ABC}=162\); \(S_{BMN}-?\)
- [Рисунок: на сторонах \(AB\) и \(BC\) отмечены равные отрезки.] \(AB=21\), \(BC=22\), \(AC=28\); \(MN-?\)
- \(MN=14\), \(AC=21\); \(AB=24\); \(AM-?\)
- \(MN=18\), \(AC=27\); \(AB=33\); \(AM-?\)
- \(MN=8\), \(AC=18\); \(S_{ABC}=81\); \(S_{MBN}-?\)
Краткие ответы (слева направо, сверху вниз):
| Рисунок | Ответ |
|---|---|
| 1 | \(AM=30\) |
| 2 | \(AM=15\) |
| 3 | \(S_{MBN}=36\) |
| 4 | \(S_{BMN}=98\) |
| 5 | \(MN=14\) |
| 6 | \(AM=8\) |
| 7 | \(AM=11\) |
| 8 | \(S_{MBN}=16\) |
Почему так
Если \(MN\parallel AC\), то треугольники \(BMN\) и \(BAC\) подобны. Обозначим коэффициент подобия:
\[ k=\frac{MN}{AC}=\frac{BM}{BA}. \]
Тогда:
\[ BM=k\cdot AB,\qquad AM=AB-BM=AB(1-k), \]
а площади относятся как квадрат коэффициента:
\[ \frac{S_{BMN}}{S_{ABC}}=k^2. \]
Теперь по задачам:
\(k=\frac{24}{44}=\frac{6}{11}\).
\(BM=66\cdot \frac{6}{11}=36\), значит \(AM=66-36=30\).\(k=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}\).
\(BM=25\cdot \frac{2}{5}=10\), значит \(AM=25-10=15\).\(k=\frac{24}{44}=\frac{6}{11}\).
\(S_{MBN}=121\cdot \left(\frac{6}{11}\right)^2=121\cdot \frac{36}{121}=36\).\(k=\frac{28}{36}=\frac{7}{9}\).
\(S_{BMN}=162\cdot \left(\frac{7}{9}\right)^2=162\cdot \frac{49}{81}=98\).По отметкам на сторонах \(M\) и \(N\) — середины \(AB\) и \(BC\), значит \(MN\) — средняя линия треугольника: \[ MN=\frac{AC}{2}=\frac{28}{2}=14. \] Числа \(AB=21\) и \(BC=22\) здесь лишние.
\(k=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}\).
\(AM=24\cdot \left(1-\frac{2}{3}\right)=24\cdot \frac{1}{3}=8\).\(k=\frac{18}{27}=\frac{2}{3}\).
\(AM=33\cdot \left(1-\frac{2}{3}\right)=33\cdot \frac{1}{3}=11\).\(k=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}\).
\(S_{MBN}=81\cdot \left(\frac{4}{9}\right)^2=81\cdot \frac{16}{81}=16\).
Проверка по отношениям площадей тоже сходится: \(36:121=(6:11)^2\), \(98:162=(7:9)^2\), \(16:81=(4:9)^2\).
