Реши задание на изображении
На фото полностью читаются задачи 99–104. Решаю их по порядку.
99
а) В треугольниках \(ABD\) и \(ACD\): \[ AB=AC,\qquad AD\text{ — общая},\qquad \angle BAD=\angle CAD \] по рисунку. Значит, \(\triangle ABD\cong\triangle ACD\) по двум сторонам и углу между ними.
б) Из равенства треугольников: \[ BD=CD=5\text{ см},\qquad AB=AC=15\text{ см}. \]
Ответ: \(BD=5\) см, \(AB=15\) см.
100
а) В треугольниках \(ABC\) и \(CDA\): \[ BC=AD,\qquad AC\text{ — общая},\qquad \angle BCA=\angle DAC \] по рисунку. Следовательно, \(\triangle ABC\cong\triangle CDA\) по двум сторонам и углу между ними.
б) Из равенства треугольников: \[ AB=CD,\qquad BC=AD. \] Дано \(AD=17\) см, \(DC=14\) см, поэтому \[ BC=17\text{ см},\qquad AB=14\text{ см}. \]
Ответ: \(AB=14\) см, \(BC=17\) см.
101
а) Углы \(\angle AOB\) и \(\angle DOC\) вертикальные, значит, \[ \angle AOB=\angle DOC. \] Кроме того, \[ OA=OD,\qquad OB=OC. \] По двум сторонам и углу между ними: \[ \triangle AOB\cong\triangle DOC. \]
б) По рисунку: \[ \angle OBA=74^\circ,\qquad \angle ODC=36^\circ. \] Из равенства треугольников соответствующие углы равны, поэтому \[ \angle OAB=\angle ODC=36^\circ. \] В треугольнике \(AOB\): \[ \angle AOB=180^\circ-74^\circ-36^\circ=70^\circ. \] Тогда \(\angle DOC=70^\circ\). В треугольнике \(DOC\): \[ \angle OCD=180^\circ-36^\circ-70^\circ=74^\circ. \] Точка \(O\) лежит на \(AC\), поэтому \(\angle ACD=\angle OCD\).
Ответ: \(\angle ACD=74^\circ\).
102
Пусть \(O\) — точка пересечения \(AC\) и \(BD\). По условию \[ AO=OC,\qquad BO=OD. \]
Треугольники \(AOB\) и \(COD\) равны по двум сторонам и вертикальному углу при \(O\). Значит, \[ AB=CD. \]
Аналогично \(\triangle AOD\cong\triangle COB\), поэтому \[ AD=CB. \]
Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\): \[ AB=CD,\qquad BC=AD,\qquad AC\text{ — общая}. \] По трём сторонам: \[ \triangle ABC\cong\triangle CDA. \]
Что и требовалось доказать.
103
Из условия: \[ AB=A_1B_1,\qquad AC=A_1C_1,\qquad \angle A=\angle A_1. \] По двум сторонам и углу между ними: \[ \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1. \] Следовательно, \[ BC=B_1C_1,\qquad \angle ABC=\angle A_1B_1C_1. \]
Так как \(P\) лежит на \(AB\), то \[ PB=AB-AP. \] Аналогично \[ P_1B_1=A_1B_1-A_1P_1. \] Но \(AB=A_1B_1\) и \(AP=A_1P_1\), значит, \[ PB=P_1B_1. \] Кроме того, \[ \angle PBC=\angle ABC=\angle A_1B_1C_1=\angle P_1B_1C_1. \] Поэтому \[ \triangle BPC\cong\triangle B_1P_1C_1 \] по двум сторонам и углу между ними.
Что и требовалось доказать.
104
Дано: \(AC=AD\), \(AB=AE\), причём \(B\in AC\), \(E\in AD\).
Рассмотрим \(\triangle ABD\) и \(\triangle AEC\): \[ AB=AE,\qquad AD=AC, \] а угол при \(A\) у них общий: \[ \angle BAD=\angle EAC. \] Значит, \[ \triangle ABD\cong\triangle AEC. \] Отсюда \[ BD=EC. \]
Теперь: \[ BC=AC-AB,\qquad ED=AD-AE. \] Так как \(AC=AD\) и \(AB=AE\), то \[ BC=ED. \] В треугольниках \(BCD\) и \(EDC\): \[ BC=ED,\qquad CD=DC,\qquad BD=EC. \] По трём сторонам: \[ \triangle BCD\cong\triangle EDC. \] Следовательно, соответствующие углы равны: \[ \angle CBD=\angle DEC. \]
Что и требовалось доказать.
Общий принцип: сначала ищем пары равных сторон и углов, затем применяем подходящий признак равенства треугольников. После этого соответствующие элементы треугольников автоматически равны.
