Найти 12 sin 11° · cos 11° / sin 22°

На фото основное задание уже разобрано верно: ответ \(6\). Два задания «сам-но» дают \(18\) и \(-4{,}5\).

Ключевая идея — формула синуса двойного угла: \[ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha. \] Она позволяет свернуть произведение \(\sin\alpha\cos\alpha\), если перед ним подобрать множитель \(2\).

Разбор по заданиям:

1. \[ \frac{12\sin 11^\circ\cos 11^\circ}{\sin 22^\circ} \] Замечаем, что \(22^\circ=2\cdot 11^\circ\). Выделяем двойку: \[ 12\sin 11^\circ\cos 11^\circ =6\cdot(2\sin 11^\circ\cos 11^\circ) =6\sin 22^\circ. \] Тогда \[ \frac{6\sin 22^\circ}{\sin 22^\circ}=6. \] Знаменатель не ноль: \(\sin 22^\circ\ne0\).

2. \[ \frac{36\sin 102^\circ\cos 102^\circ}{\sin 204^\circ} \] Здесь \(204^\circ=2\cdot 102^\circ\). Выделяем двойку: \[ 36\sin 102^\circ\cos 102^\circ =18\cdot(2\sin 102^\circ\cos 102^\circ) =18\sin 204^\circ. \] Сокращаем: \[ \frac{18\sin 204^\circ}{\sin 204^\circ}=18. \]

3. \[ \frac{-18\sin 174^\circ\cos 174^\circ}{2\sin 348^\circ} \] Здесь \(348^\circ=2\cdot 174^\circ\). Выделяем двойку: \[ -18\sin 174^\circ\cos 174^\circ =-9\cdot(2\sin 174^\circ\cos 174^\circ) =-9\sin 348^\circ. \] Тогда \[ \frac{-9\sin 348^\circ}{2\sin 348^\circ} =-\frac{9}{2}=-4{,}5. \] Минус сохраняется, он не «исчезает» при сокращении.

Проверка. Для проверки я взял приближённые значения. В первом примере \(\sin 11^\circ\approx0{,}1908\), \(\cos 11^\circ\approx0{,}9816\), \(\sin 22^\circ\approx0{,}3746\). Тогда \(12\cdot0{,}1908\cdot0{,}9816\approx2{,}247\), и \(2{,}247/0{,}3746\approx6\). Остальные примеры проверяются так же.

Что важно запомнить:

• ищем в числителе произведение \(\sin\alpha\cos\alpha\);
• подбираем коэффициент так, чтобы получилось \(2\sin\alpha\cos\alpha\);
• сворачиваем в \(\sin 2\alpha\);
• если в знаменателе стоит \(\sin 2\alpha\), дробь сокращается;
• следим за знаком и проверяем, что \(\sin 2\alpha\ne0\).