Сделай задание на геометрию , и на все задачи сделай текстовый чертеж

Разбираю геометрический блок: № 57, 70, 71 и 46. Чертежи ниже схематические.

№	Краткий ответ
57	\(6\) см, \(10\) см, \(14\) см
70	\(12\) см и \(16\) см
71	два угла по \(64^\circ\) и два по \(116^\circ\)
46	\(16\) см

57. Стороны треугольника из середин сторон

Текстовый чертёж:

          B
         / \
        M---N
       / \ / \
      A---K---C

\(M,N,K\) — середины сторон \(AB,BC,AC\). Треугольник \(MNK\) — серединный.

Пусть стороны исходного треугольника равны \(3x,5x,7x\). Тогда \[ 3x+5x+7x=60 \quad\Rightarrow\quad 15x=60 \quad\Rightarrow\quad x=4. \] Стороны исходного треугольника: \[ 12,\ 20,\ 28\text{ см}. \]

Каждая сторона треугольника из середин сторон параллельна стороне исходного треугольника и равна её половине. Значит, его стороны: \[ 6,\ 10,\ 14\text{ см}. \]

Проверка: \(6+10+14=30\), это половина периметра \(60\).

---

70. Основания прямоугольной трапеции

Текстовый чертёж:

      B----------C
      |          |\
      |          | \
      A----------H---D

\(AD\parallel BC\), \(AB\perp AD\), \(CH\perp AD\), причём \(AH:HD=3:1\).

Пусть меньшее основание \(BC=x\), большее \(AD=y\).

Так как \(ABCH\) — прямоугольник, то \[ AH=BC=x. \] По условию \[ AH:HD=3:1, \] поэтому \[ HD=\frac{x}{3}. \] Тогда \[ AD=AH+HD=x+\frac{x}{3}=\frac{4x}{3}. \]

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \[ \frac{x+\frac{4x}{3}}{2}=14. \] Отсюда \[ \frac{7x}{6}=14 \quad\Rightarrow\quad x=12. \] Значит, \[ BC=12\text{ см},\qquad AD=\frac{4\cdot 12}{3}=16\text{ см}. \]

Проверка: \(AH=12\), \(HD=4\), отношение \(12:4=3:1\); средняя линия \((12+16):2=14\).

---

71. Углы равнобокой трапеции

Текстовый чертёж:

          B-------C
         / \       \
        /   \       \
       A-----------D

\(AD\parallel BC\), \(AB=BC=CD\), \(AC\) — диагональ, \(\angle CAD=32^\circ\).

Так как \(AD\parallel BC\), то накрест лежащие углы при диагонали \(AC\) равны: \[ \angle ACB=\angle CAD=32^\circ. \]

В треугольнике \(ABC\) стороны \(AB\) и \(BC\) равны, значит, он равнобедренный с основанием \(AC\). Поэтому \[ \angle BAC=\angle ACB=32^\circ. \]

Следовательно, \[ \angle BAD=\angle BAC+\angle CAD=32^\circ+32^\circ=64^\circ. \]

В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны: \[ \angle A=\angle D=64^\circ. \] Соседние углы трапеции в сумме дают \(180^\circ\), поэтому \[ \angle B=\angle C=180^\circ-64^\circ=116^\circ. \]

Ответ: \(64^\circ,64^\circ,116^\circ,116^\circ\).

---

46. Сторона ромба

Текстовый чертёж:

          B-------C
         /|\     /
        / | \   /
       A--H---D

\(ABCD\) — ромб, \(B\) — вершина тупого угла, \(BH\perp AD\), \(H\) — середина \(AD\).

Пусть сторона ромба равна \(a\). Тогда \[ AH=\frac{a}{2}. \] В прямоугольном треугольнике \(ABH\): \[ \cos\angle BAH=\frac{AH}{AB} =\frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac12. \] Значит, \[ \angle BAH=60^\circ. \] То есть острый угол ромба равен \(60^\circ\), а тупой \(120^\circ\).

Меньшая диагональ ромба соединяет его тупые углы — это \(BD\). В треугольнике \(ABD\): \[ AB=AD=a,\qquad \angle BAD=60^\circ. \] Такой треугольник равносторонний, поэтому \[ BD=a. \] По условию меньшая диагональ равна \(16\) см, значит, \[ a=16\text{ см}. \]

Ответ: \(16\) см.

Что важно понять:

1. Середины сторон треугольника дают треугольник со сторонами вдвое меньше исходных.
2. В прямоугольной трапеции высота из тупого угла отсекает прямоугольник, поэтому \(AH=BC\).
3. В равнобокой трапеции диагональ с параллельными основаниями образует равные накрест лежащие углы.
4. Если в ромбе катет равен половине стороны, то угол равен \(60^\circ\), а меньшая диагональ равна стороне ромба.