реши задачи
Сверь числа и знаки с фото.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «КОРНИ, СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ» ВАРИАНТ 1 № Задание 1 Вычислите: \(\sqrt{75^2-45^2}\) 2 Запишите в виде степени с рациональным показателем: \(\sqrt[5]{a^3}\) 3 Упростите: \(\frac{x^{5{,}5}\cdot x^{-8}}{x^{-3}}\) при \(x=2\) 4 Запишите как степень числа 2: \(16\cdot\sqrt[4]{8}\) 5 Вычислите: \(36\cdot5^{\log_5 2}\) 6 Вычислите: \(\log_{0{,}2}25\) 7 Прологарифмируйте выражение по основанию 3: \(243\cdot\sqrt[5]{9}\) 8 Сравните: \(\log_{1/4}9\) и \(\log_4 9\) 9 Сравните: \((\sqrt[3]{16})^2\) и \(4\sqrt[3]{2}\) 10 Решите неравенство: \((\frac{1}{4})^x \ge 16\) 11 Решите уравнение: \(3^{x+2}+3^x=90\) 12 Решите уравнение: \(\log_4(x-5)=\log_4(3x+1)\) 13 Решите неравенство: \(\log_2(3x-1)<\log_2(x+5)\) 14 Решите уравнение: \(\log_3(x^2-8x)=2\) 15 Решите уравнение: \(\sqrt{3x+7}=4\) 16 Решите уравнение: \(\sqrt{2x-1}=x-2\) 17 Найдите значение выражения: \(27^{2/3}-16^{1/4}\) 18 Упростите выражение: \(\frac{a^{5/8}\cdot a^{-1/3}}{a^{2/3}}\) 19 Вычислите: \(49^{\log_7 3}\) 20 Постройте график функции: \(y=\sqrt{x+2}-1\)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «КОРНИ, СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ» ВАРИАНТ 2 № Задание 1 Вычислите: \(\sqrt{325^2-300^2}\) 2 Запишите в виде степени с рациональным показателем: \(\sqrt[5]{b^7}\) 3 Упростите: \(\frac{x^5\cdot x^{-8}}{x^{-5}}\) и вычислите при \(x=7\) 4 Запишите как степень числа 3 выражение: \(27\cdot\sqrt[3]{9}\) 5 Вычислите: \(18\cdot6^{\log_6 2}\) 6 Вычислите: \(\log_{0{,}5}0{,}25+\log_{0{,}5}4\) 7 Прологарифмируйте выражение по основанию 3: \(729\cdot\sqrt[3]{3}\) 8 Сравните: \(\log_{1/5}7\) и \(\log_{1/5}8\) 9 Сравните: \(9^{3/2}\) и 28 10 Решите неравенство: \((\frac{1}{2})^{3-x} \le 4\) 11 Решите уравнение: \(2^{x+3}-2^{x+1}=48\) 12 Решите уравнение: \(\log_2(x+3)=\log_2(4x-5)\) 13 Решите неравенство: \(\log_{1/2}(2x+3)<\log_{1/2}(x-1)\) 14 Решите уравнение: \(\log_2(x^2-3x)=2\) 15 Решите уравнение: \(\sqrt{3-2x}=-x\) 16 Решите уравнение: \(\sqrt{2x-1}=x-2\) 17 Найдите значение выражения: \(16^{3/4}-8^{2/3}\) 18 Упростите выражение: \(\frac{b^{3/2}\cdot b^{-1/2}}{b^{1/2}}\) 19 Вычислите: \(25^{\log_5 4}\) 20 Постройте график функции: \(y=\sqrt[3]{x-1}+2\)
Ниже — ответы для обоих вариантов с ключевыми шагами. В конце — общие правила, по которым решаются похожие задания.
Вариант 1
| № | Ответ | Ключевой шаг |
|---|---|---|
| 1 | \(60\) | \(\sqrt{(75-45)(75+45)}=\sqrt{30\cdot120}=\sqrt{3600}=60\) |
| 2 | \(a^{3/5}\) | \(\sqrt[5]{a^3}=a^{3/5}\) |
| 3 | \(\sqrt2\) | \(\frac{x^{5{,}5}\cdot x^{-8}}{x^{-3}}=x^{5{,}5-8+3}=x^{1/2}\); при \(x=2\): \(\sqrt2\) |
| 4 | \(2^{19/4}\) | \(16=2^4\), \(\sqrt[4]{8}=2^{3/4}\), поэтому \(2^4\cdot2^{3/4}=2^{19/4}\) |
| 5 | \(72\) | \(5^{\log_5 2}=2\), поэтому \(36\cdot2=72\) |
| 6 | \(-2\) | \(0{,}2=5^{-1}\), \(25=5^2\), значит \(\log_{5^{-1}}5^2=-2\) |
| 7 | \(\frac{27}{5}\) | \(243=3^5\), \(\sqrt[5]{9}=3^{2/5}\); \(\log_3(3^{5+2/5})=\frac{27}{5}\) |
| 8 | первое меньше | \(\log_{1/4}9=-\log_4 9<0\), а \(\log_4 9>0\) |
| 9 | первое больше | \((\sqrt[3]{16})^2=2^{8/3}\), \(4\sqrt[3]2=2^{7/3}\) |
| 10 | \(x\le -2\), или \((-\infty;-2]\) | \(4^{-x}\ge4^2\), значит \(-x\ge2\) |
| 11 | \(x=2\) | \(3^x(9+1)=90\), \(3^x=9\), \(x=2\) |
| 12 | корней нет | \(x-5=3x+1\Rightarrow x=-3\), но требуется \(x>5\) |
| 13 | \(x\in\left(\frac13;3\right)\) | \(3x-1<x+5\) и \(3x-1>0\) |
| 14 | \(x=-1;\ 9\) | \(x^2-8x=9\), \(x^2-8x-9=0\) |
| 15 | \(x=3\) | \(3x+7=16\) |
| 16 | \(x=5\) | После квадрата: \(x=1;5\); \(x=1\) не подходит, так как \(x-2<0\) |
| 17 | \(7\) | \(27^{2/3}=9\), \(16^{1/4}=2\) |
| 18 | \(a^{-3/8}=\frac{1}{\sqrt[8]{a^3}}\) | \(\frac58-\frac13-\frac23=-\frac38\) |
| 19 | \(9\) | \(49^{\log_7 3}=7^{2\log_7 3}=3^2\) |
| 20 | См. описание графика | \(y=\sqrt{x+2}-1\) — сдвиг \(y=\sqrt x\) на 2 влево и на 1 вниз. Начало: \((-2;-1)\); точки: \((-1;0),(2;1)\) |
Вариант 2
| № | Ответ | Ключевой шаг |
|---|---|---|
| 1 | \(125\) | \(\sqrt{(325-300)(325+300)}=\sqrt{25\cdot625}=125\) |
| 2 | \(b^{7/5}\) | \(\sqrt[5]{b^7}=b^{7/5}\) |
| 3 | \(49\) | \(\frac{x^5\cdot x^{-8}}{x^{-5}}=x^{5-8+5}=x^2\); при \(x=7\): \(49\) |
| 4 | \(3^{11/3}\) | \(27=3^3\), \(\sqrt[3]{9}=3^{2/3}\) |
| 5 | \(36\) | \(6^{\log_6 2}=2\), поэтому \(18\cdot2=36\) |
| 6 | \(0\) | \(\log_{1/2}0{,}25=2\), \(\log_{1/2}4=-2\), сумма равна \(0\) |
| 7 | \(\frac{19}{3}\) | \(729=3^6\), \(\sqrt[3]{3}=3^{1/3}\); \(\log_3(3^{6+1/3})=\frac{19}{3}\) |
| 8 | первое больше | Основание \(1/5<1\), поэтому логарифм убывает: \(7<8\Rightarrow\log_{1/5}7>\log_{1/5}8\) |
| 9 | первое меньше | \(9^{3/2}=27<28\) |
| 10 | \(x\le5\), или \((-\infty;5]\) | \((1/2)^{3-x}=2^{x-3}\le2^2\), значит \(x-3\le2\) |
| 11 | \(x=3\) | \(2^{x+1}(4-1)=48\), \(2^{x+1}=16\), \(x=3\) |
| 12 | \(x=\frac83\) | \(x+3=4x-5\); корень входит в ОДЗ |
| 13 | \(x>1\), или \((1;+\infty)\) | ОДЗ: \(x>1\); основание меньше 1, знак неравенства меняется: \(2x+3>x-1\) |
| 14 | \(x=-1;\ 4\) | \(x^2-3x=4\), \(x^2-3x-4=0\) |
| 15 | \(x=-3\) | После квадрата: \(x=1;-3\); \(x=1\) не подходит, так как \(-x<0\) |
| 16 | \(x=5\) | После квадрата: \(x=1;5\); \(x=1\) не подходит |
| 17 | \(4\) | \(16^{3/4}=8\), \(8^{2/3}=4\) |
| 18 | \(b^{1/2}=\sqrt b\) | \(\frac32-\frac12-\frac12=\frac12\) |
| 19 | \(16\) | \(25^{\log_5 4}=5^{2\log_5 4}=4^2\) |
| 20 | См. описание графика | \(y=\sqrt[3]{x-1}+2\) — сдвиг \(y=\sqrt[3]{x}\) на 1 вправо и на 2 вверх. Точки: \((0;1),(1;2),(2;3)\) |
Что важно понять
Корень и степень.
\[ \sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}. \] При умножении степеней показатели складываются, при делении — вычитаются: \[ a^m a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}. \]Логарифм.
\[ \log_a b=c \iff a^c=b. \] Поэтому \(a^{\log_a b}=b\). Если основание логарифма \(0<a<1\), то функция убывает, а при переходе в неравенстве к аргументам знак неравенства меняется.Обязательная проверка корней.
После возведения в квадрат могут появиться посторонние корни. В варианте 1 №16 и варианте 2 №15 корень \(x=1\) отбрасывается из-за знака правой части.
В логарифмических уравнениях всегда проверяем: аргумент логарифма должен быть больше нуля. Поэтому в варианте 1 №12 решений нет.Графики.
\(y=\sqrt{x+2}-1\) — обычная ветвь корня, сдвинутая влево на 2 и вниз на 1.
\(y=\sqrt[3]{x-1}+2\) — график кубического корня, сдвинутый вправо на 1 и вверх на 2.
