1. Имеет ли уравнение корни и сколько: а) |x|=7; б) |x|=0; в) |x|=-4; г) |x|=x?

Синим на фото обведены номера: 1; 2.1а, 2.1в; 2.2а, 2.2в; 2.3а, 2.3в; 3.а, 3.в; 4.1а, 4.1в; 4.2а, 4.2в; 4.3а, 4.3в. Решаю их.

Краткий ответ

1.

• а) \(x=-7\) или \(x=7\) — два корня;
• б) \(x=0\) — один корень;
• в) корней нет;
• г) \(x\ge 0\) — бесконечно много корней.

2. Уравнения

1. а) \(x=\pm 2{,}6\); в) корней нет.
2. а) \(x=-8\) или \(x=-2\); в) \(x=7\).
3. а) \(x=-\frac{2}{3}\) или \(x=4\); в) \(x=-1\) или \(x=7\).

3. Неравенства

• а) \(-4<x<4\), то есть \((-4;4)\);
• в) \(x\le -1\) или \(x\ge 1\), то есть \((-\infty;-1]\cup[1;+\infty)\).

На координатной прямой:

• в 3.а точки \(-4\) и \(4\) выколоты, штриховка между ними;
• в 3.в точки \(-1\) и \(1\) закрашены, штриховка идёт влево от \(-1\) и вправо от \(1\).

4. Неравенства

1. а) \(-7<x<7\); в) \(-10\le x\le 10\).
2. а) \(x<-7\) или \(x>-3\);
   в) \(x\le -2{,}5\) или \(x\ge -1{,}5\).
3. а) \(-\frac{1}{6}<x<\frac{1}{2}\);
   в) \(\frac{1}{2}\le x\le \frac{3}{2}\).

Ключевые шаги

Модуль — это расстояние до нуля, поэтому \(|A|\ge 0\) всегда.

Уравнение \(|A|=b\):

• если \(b>0\), то \(A=b\) или \(A=-b\);
• если \(b=0\), то \(A=0\);
• если \(b<0\), корней нет.

Например, в 2.3а: \[ |3x-5|=7 \] значит \[ 3x-5=7 \quad \text{или} \quad 3x-5=-7. \] Отсюда \(x=4\) или \(x=-\frac{2}{3}\).

В 2.3в: \[ |6-2x|=8 \] даёт \(x=-1\) или \(x=7\).

Неравенство \(|A|<b\) превращается в двойное неравенство: \[ -b<A<b. \] Например, в 3.а: \[ |x|<4 \quad\Rightarrow\quad -4<x<4. \]

Для \(|A|>b\): \[ A<-b \quad \text{или} \quad A>b. \] Например, в 4.2а: \[ |x+5|>2 \] значит \[ x+5<-2 \quad \text{или} \quad x+5>2, \] то есть \(x<-7\) или \(x>-3\).

В 4.3в применяем двойное неравенство: \[ |2-2x|\le 1 \] \[ -1\le 2-2x\le 1. \] После преобразований: \[ -3\le -2x\le -1. \] При делении на \(-2\) знак неравенства меняется: \[ \frac{1}{2}\le x\le \frac{3}{2}. \]

Проверка для 2.3а: при \(x=4\): \(|3\cdot4-5|=7\); при \(x=-\frac23\): \(\left|3\cdot(-\frac23)-5\right|=7\). Оба решения подходят.