8.22. Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD, точки M и N — середины рёбер SC и SD соответственно. Прямые SA, BM и CN попарно перпендикулярны.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
8.22. Основание пирамиды \(SABCD\) — параллелограмм \(ABCD\), точки \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(SC\) и \(SD\) соответственно. Прямые \(SA\), \(BM\) и \(CN\) попарно перпендикулярны. а) Докажите, что отрезок \(CN\) делится плоскостью \(BMD\) в отношении \(2 : 1\), считая от точки \(C\). б) Найдите объём пирамиды, если \(SA = a\), \(BM = b\), \(CN = c\).
Ответ: а) \(CP:PN=2:1\), где \(P=CN\cap (BMD)\); б) \(V_{SABCD}=\dfrac{4abc}{9}\).
Ключевые шаги
Поместим \(S\) в начало координат, а оси направим вдоль трёх взаимно перпендикулярных прямых \(SA\), \(BM\), \(CN\). Пусть их единичные векторы — \(\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3\). Тогда \[ \vec{SA}=a\mathbf e_1,\qquad \overrightarrow{BM}=b\mathbf e_2,\qquad \overrightarrow{CN}=c\mathbf e_3. \]
Так как \(M\) — середина \(SC\), \[ \overrightarrow{SM}=\frac12\vec{SC}. \] Поэтому \[ \vec{SB}=\frac12\vec{SC}-b\mathbf e_2. \tag{1} \]
В параллелограмме \(ABCD\) \[ \vec{SD}=\vec{SA}+\vec{SC}-\vec{SB}. \] Так как \(N\) — середина \(SD\), а \(\overrightarrow{CN}=c\mathbf e_3\), получаем \[ \vec{SA}-\vec{SB}-\vec{SC}=2c\mathbf e_3. \tag{2} \]
Подставив (1) в (2), находим \[ \vec{SC}=\frac{2a}{3}\mathbf e_1+\frac{2b}{3}\mathbf e_2-\frac{4c}{3}\mathbf e_3, \] \[ \vec{SB}=\frac a3\mathbf e_1-\frac{2b}{3}\mathbf e_2-\frac{2c}{3}\mathbf e_3. \] Также \[ \vec{SM}=\frac12\vec{SC} =\frac a3\mathbf e_1+\frac b3\mathbf e_2-\frac{2c}{3}\mathbf e_3, \] \[ \vec{SD}=\frac{4a}{3}\mathbf e_1+\frac{4b}{3}\mathbf e_2-\frac{2c}{3}\mathbf e_3. \]
а) У точек \(B,M,D\) третья координата равна \(-\frac{2c}{3}\). Значит, плоскость \(BMD\) задаётся уравнением \[ x_3=-\frac{2c}{3}. \]
Точка \(X(t)\) на отрезке \(CN\) имеет вид \[ \vec{SX}(t)=\vec{SC}+t\,\overrightarrow{CN}, \qquad 0\le t\le 1. \] Её третья координата: \[ -\frac{4c}{3}+tc. \] При пересечении с плоскостью \(BMD\): \[ -\frac{4c}{3}+tc=-\frac{2c}{3} \quad\Rightarrow\quad t=\frac23. \] Значит, \[ CP=\frac23 CN,\qquad PN=\frac13 CN, \] то есть \[ CP:PN=2:1. \]
б) Диагональ \(AC\) делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому \[ V_{SABCD}=2V_{SABC}. \] Объём тетраэдра \(SABC\): \[ V_{SABC}=\frac16\left|\det(\vec{SA},\vec{SB},\vec{SC})\right|. \] Следовательно, \[ V_{SABCD}=\frac13\left|\det(\vec{SA},\vec{SB},\vec{SC})\right|. \]
В выбранных координатах: \[ \det(\vec{SA},\vec{SB},\vec{SC}) = \begin{vmatrix} a&0&0\\[2pt] \dfrac a3&-\dfrac{2b}{3}&-\dfrac{2c}{3}\\[4pt] \dfrac{2a}{3}&\dfrac{2b}{3}&-\dfrac{4c}{3} \end{vmatrix} = a\left(\frac{8bc}{9}+\frac{4bc}{9}\right) = \frac{4abc}{3}. \] Поэтому \[ V_{SABCD}=\frac13\cdot \frac{4abc}{3} =\frac{4abc}{9}. \]
\[ \boxed{V_{SABCD}=\frac{4abc}{9}} \]
Обсуждение
2 сообщенияА можно пункт б доказать без метода координат?
Да, можно. Ниже — решение без координатных осей: используем только короткую векторную запись и отношения объёмов.
1. Докажем, что \(CN\perp (BMD)\).
Так как \(M\) — середина \(SC\), \[ \overrightarrow{BM}=\frac12\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB}, \] откуда \[ \overrightarrow{SB}=\frac12\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{BM}. \]
Поскольку \(ABCD\) — параллелограмм, \[ \overrightarrow{SD}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB} =\overrightarrow{SA}+\frac12\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{BM}. \] Тогда \[ \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{SD}-\overrightarrow{SB} =\overrightarrow{SA}+2\overrightarrow{BM}. \tag{1} \]
По условию \(CN\perp SA\) и \(CN\perp BM\). Поэтому из (1) \[ \overrightarrow{CN}\cdot\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CN}\cdot\overrightarrow{SA} +2\overrightarrow{CN}\cdot\overrightarrow{BM}=0. \] Значит, \(CN\perp BD\). Вместе с \(CN\perp BM\) получаем \[ CN\perp (BMD). \]
2. Найдём \(CP\).
Так как \(CN\perp (BMD)\), точка \(P\) — основание перпендикуляра из \(C\) на плоскость \(BMD\), а \(CP\) — расстояние от \(C\) до этой плоскости.
Точка \(M\) лежит в плоскости \(BMD\) и является серединой \(SC\), поэтому расстояния от \(S\) и \(C\) до плоскости \(BMD\) равны: \[ h_S=h_C=CP. \] Точка \(N\) — середина \(SD\), а \(D\) лежит в плоскости \(BMD\), поэтому расстояние от \(N\) до этой плоскости вдвое меньше: \[ PN=\frac{h_S}{2}=\frac{CP}{2}. \] Следовательно, \[ CP:PN=2:1,\qquad CP=\frac23 CN=\frac{2c}{3}. \]
3. Найдём площадь треугольника \(BMD\).
Из (1) и условия \(SA\perp BM\) следует, что перпендикулярная к \(BM\) составляющая вектора \(BD\) равна \(SA\). Значит, высота треугольника \(BMD\), проведённая из \(D\) к стороне \(BM\), равна \[ SA=a. \] Поэтому \[ S_{BMD}=\frac12\cdot BM\cdot a=\frac{ab}{2}. \]
4. Объём пирамиды \(CBMD\).
\[ V_{CBMD}=\frac13 S_{BMD}\cdot CP = \frac13\cdot \frac{ab}{2}\cdot \frac{2c}{3} = \frac{abc}{9}. \]
5. Связь с объёмом \(SABCD\).
Диагональ \(BD\) делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому \[ V_{SBCD}=\frac12 V_{SABCD}. \] Точка \(M\) — середина \(SC\), а \(C\) лежит в плоскости \(BCD\), значит высота пирамиды \(MBCD\) к плоскости \(BCD\) вдвое меньше высоты пирамиды \(SBCD\). Поэтому \[ V_{MBCD}=\frac12 V_{SBCD}=\frac14 V_{SABCD}. \] Но \(V_{MBCD}=V_{CBMD}\). Следовательно, \[ \frac14 V_{SABCD}=\frac{abc}{9}. \]
Отсюда \[ \boxed{V_{SABCD}=\frac{4abc}{9}}. \]
То есть объём исходной пирамиды равен \(\dfrac{4abc}{9}\), и координатный метод для этого не нужен.
