Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x^{2}-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=2,\; x_{2}=3 \]

Как это получить

Способ 1. Разложение на множители (через теорему Виета).

Для приведённого квадратного уравнения \(x^{2}+px+q=0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\). У нас \(p=-5\), \(q=6\), значит нужны два числа, у которых:

\[ x_{1}+x_{2}=5,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=6 \]

Подходят \(2\) и \(3\): \(2+3=5\), \(2\cdot 3=6\). Поэтому

\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3) \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \;\text{или}\; x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \;\text{или}\; x=3 \]

Способ 2. Через дискриминант (универсальный).

\[ D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

\[ x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2} \]

Отсюда \(x_{1}=\frac{6}{2}=3\), \(x_{2}=\frac{4}{2}=2\) — тот же результат.

Проверка

\[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \] \[ 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят.

Принцип на будущее: если перед \(x^{2}\) стоит \(1\), ищи два числа с суммой \(-p\) и произведением \(q\) — это быстро; если числа не подбираются или коэффициент не \(1\), надёжно работает дискриминант.