Из города A в город B, находящийся на расстоянии 420 км от A, со скоростью 70 км/ч выезжает Емеля на печке. Одновременно с ним из B в A с постоянной скоростью v км/ч выбегает

Краткий ответ: 111 целых значений \(v\).

Пусть \(A\) имеет координату \(0\), а \(B\) — координату \(420\). Емеля движется со скоростью \(70\) км/ч, Мальчик-с-пальчик — со скоростью \(v\) км/ч.

Время до встречи: \[ t_0=\frac{420}{70+v}. \] Координата точки встречи: \[ x_0=70t_0=\frac{29400}{70+v}. \]

После встречи Мальчик-с-пальчик ещё полчаса, то есть \(0{,}5\) ч, бежит к \(A\). Он успевает пройти \(v\cdot 0{,}5=\frac v2\), поэтому точка разворота: \[ x_1=x_0-\frac v2. \]

Сказано, что он поворачивает, не добегая до \(A\), значит \(x_1>0\): \[ \frac{29400}{70+v}-\frac v2>0. \] Отсюда \[ v^2+70v-58800<0, \] \[ (v-210)(v+280)<0. \] Так как \(v>0\), получаем: \[ 0<v<210. \]

Теперь найдём время прибытия Мальчика-с-пальчика в \(B\). После разворота ему остаётся расстояние \(420-x_1\), поэтому: \[ T_M=t_0+0{,}5+\frac{420-x_1}{v}. \] После подстановки: \[ T_M=1+\frac{840}{v+70}. \]

Емеля доезжает до \(B\) за \[ T_E=\frac{420}{70}=6 \text{ ч}. \] Нужно, чтобы Мальчик прибыл раньше: \[ 1+\frac{840}{v+70}<6. \] Тогда \[ \frac{840}{v+70}<5, \] \[ v+70>168, \] \[ v>98. \]

Объединяем условия: \[ 98<v<210. \] Целые значения: \(99,100,\ldots,209\). Их количество: \[ 209-99+1=111. \]

Границы не включаются: при \(v=98\) они прибывают одновременно, а при \(v=210\) Мальчик-с-пальчик добежал бы ровно до \(A\) за полчаса, что противоречит словам «не добегая».