Подробное решение (8 класс)

Что нужно знать перед работой

Четыре правила, на которых держится вся работа:

1. Корень произведения: \(\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b\) при \(a\ge0,\ b\ge0\). Отсюда \(\sqrt{36b}=\sqrt{36}\cdot\sqrt b\).
2. Квадрат корня: \((\sqrt a)^2=a\) при \(a\ge0\). Поэтому \((\sqrt7)^2=7\), а \((3\sqrt3)^2=3^2\cdot(\sqrt3)^2=9\cdot3=27\).
3. Вынесение множителя: если под корнем есть полный квадрат, его «вытаскивают»: \(\sqrt{9\cdot2a}=\sqrt9\cdot\sqrt{2a}=3\sqrt{2a}\). Это главный приём в №1.
4. Формулы сокращённого умножения: \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\); \((a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2\). Это главный приём в №2 и №3.

Область определения в №1: \(a\ge0,\ b\ge0\) — иначе корней не существует. В ответе это писать не обязательно, но понимать нужно.

---

1. Упростите выражение

1) \(\sqrt{36b}-\sqrt{16b}+2\sqrt{b}\)

Шаг 1. Раскладываем каждое число под корнем на полный квадрат и остаток: \[36=6^2,\qquad 16=4^2\]

Шаг 2. Выносим множитель из-под корня: \[\sqrt{36b}=\sqrt{36}\cdot\sqrt b=6\sqrt b\] \[\sqrt{16b}=\sqrt{16}\cdot\sqrt b=4\sqrt b\]

Шаг 3. Подставляем в выражение: \[6\sqrt b-4\sqrt b+2\sqrt b\]

Шаг 4. Все три слагаемых содержат одинаковый корень \(\sqrt b\) — это «подобные слагаемые», как \(6x-4x+2x\). Складываем коэффициенты: \[(6-4+2)\sqrt b=4\sqrt b\]

Ответ: \(4\sqrt b\)

Проверка. Пусть \(b=4\): слева \(\sqrt{144}-\sqrt{64}+2\sqrt4=12-8+4=8\); справа \(4\sqrt4=4\cdot2=8\). Совпало.

---

2) \(\sqrt{2a}-2\sqrt{18a}+\sqrt{72a}\)

Шаг 1. Подкоренное выражение везде содержит двойку, поэтому ищем в числах 18 и 72 полные квадраты: \[18=9\cdot2=3^2\cdot2\] \[72=36\cdot2=6^2\cdot2\]

Шаг 2. Выносим множители: \[\sqrt{18a}=\sqrt{9\cdot2a}=\sqrt9\cdot\sqrt{2a}=3\sqrt{2a}\] \[\sqrt{72a}=\sqrt{36\cdot2a}=\sqrt{36}\cdot\sqrt{2a}=6\sqrt{2a}\]

Шаг 3. Подставляем, не забывая про коэффициент 2 перед вторым корнем: \[\sqrt{2a}-2\cdot3\sqrt{2a}+6\sqrt{2a}=\sqrt{2a}-6\sqrt{2a}+6\sqrt{2a}\]

Шаг 4. Считаем коэффициенты: \(1-6+6=1\). \[=1\sqrt{2a}=\sqrt{2a}\]

Здесь коэффициент перед первым корнем равен 1 — это частая ошибка: пишут ноль. Единица остаётся.

Ответ: \(\sqrt{2a}\)

Проверка. Пусть \(a=2\): слева \(\sqrt4-2\sqrt{36}+\sqrt{144}=2-12+12=2\); справа \(\sqrt4=2\). Верно.

---

2. Выполните действия

1) \((2-\sqrt7)(2+\sqrt7)\)

Шаг 1. Узнаём формулу разности квадратов \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), где \(a=2,\ b=\sqrt7\).

Шаг 2. Применяем: \[2^2-(\sqrt7)^2\]

Шаг 3. Считаем: \(2^2=4\), \((\sqrt7)^2=7\). \[4-7=-3\]

Ответ: \(-3\)

Комментарий. Результат отрицательный — это нормально: \(2-\sqrt7\approx2-2{,}65=-0{,}65\), а второй множитель положительный, значит, произведение отрицательно.

---

2) \((3\sqrt3-5)^2\)

Шаг 1. Формула квадрата разности: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), где \(a=3\sqrt3,\ b=5\).

Шаг 2. Считаем каждую часть отдельно: \[a^2=(3\sqrt3)^2=3^2\cdot(\sqrt3)^2=9\cdot3=27\] \[2ab=2\cdot3\sqrt3\cdot5=30\sqrt3\] \[b^2=5^2=25\]

Шаг 3. Собираем: \[27-30\sqrt3+25=52-30\sqrt3\]

Ответ: \(52-30\sqrt3\)

Проверка (приближённо). \(3\sqrt3\approx5{,}196\); \(5{,}196-5=0{,}196\); \(0{,}196^2\approx0{,}0384\). Справа: \(30\sqrt3\approx51{,}96\), \(52-51{,}96=0{,}04\). Совпадает.

Типичная ошибка: писать \((3\sqrt3)^2=3\cdot3=9\) или \(=9\cdot9\). Квадрат возводится в квадрат и при этом «снимает» корень.

---

3) \((\sqrt3+\sqrt2)^2-\sqrt{24}\)

Шаг 1. Квадрат суммы: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). \[(\sqrt3)^2+2\cdot\sqrt3\cdot\sqrt2+(\sqrt2)^2=3+2\sqrt6+2=5+2\sqrt6\]

Шаг 2. Упрощаем второй корень, вынося полный квадрат \(4\) из 24: \[\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt6\]

Шаг 3. Вычитаем: \[5+2\sqrt6-2\sqrt6=5\]

Ответ: \(5\)

Замечание. Корни сократились полностью, хотя \(\sqrt6\) — иррациональное число. Это закономерно: задача подобрана так, чтобы «страшные» части уничтожились.

---

3. Освободитесь от знака корня в знаменателе

Общая идея: дробь не изменится, если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число. Подбираем множитель так, чтобы в знаменателе корень исчез.

1) \(\dfrac{2}{\sqrt7}\)

Шаг 1. Умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt7\): \[\frac{2\cdot\sqrt7}{\sqrt7\cdot\sqrt7}\]

Шаг 2. В знаменателе \((\sqrt7)^2=7\): \[\frac{2\sqrt7}{7}\]

Ответ: \(\frac{2\sqrt7}{7}\)

Проверка. \(\frac{2}{\sqrt7}\approx\frac{2}{2{,}646}\approx0{,}756\); \(\frac{2\sqrt7}{7}\approx\frac{5{,}292}{7}\approx0{,}756\).

---

2) \(\dfrac{2}{\sqrt2+1}\)

Шаг 1. Здесь простое умножение на корень не поможет: \((\sqrt2+1)\sqrt2\) корень не убирает. Нужен сопряжённый множитель — то же выражение с обратным знаком: \(\sqrt2-1\). Их произведение даёт разность квадратов без корня.

Шаг 2. Умножаем числитель и знаменатель: \[\frac{2(\sqrt2-1)}{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}\]

Шаг 3. Считаем знаменатель по формуле \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\): \[(\sqrt2)^2-1^2=2-1=1\]

Шаг 4. Раскрываем скобки в числителе (знаменатель равен 1): \[\frac{2\sqrt2-2}{1}=2\sqrt2-2\]

Ответ: \(2\sqrt2-2\)

Проверка. \(\sqrt2\approx1{,}414\), значит \(2\sqrt2-2\approx0{,}828\); и \(\frac{2}{\sqrt2+1}\approx\frac{2}{2{,}414}\approx0{,}828\). Верно.

Полезно запомнить: \(\frac{1}{\sqrt2+1}=\sqrt2-1\), потому что \((\sqrt2-1)(\sqrt2+1)=1\).

---

Итоговые ответы для записи в работу

1. 1. \(4\sqrt b\); 2) \(\sqrt{2a}\)
2. 1. \(-3\); 2) \(52-30\sqrt3\); 3) \(5\)
3. 1. \(\frac{2\sqrt7}{7}\); 2) \(2\sqrt2-2\)

Если хочешь, разберём отдельно, как определять область допустимых значений в №1 — это чаще всего спрашивают на разборе.