Вычислить пределы функции
Краткий ответ: \[ \lim_{x\to\infty}\frac{5x^2+x+1}{3x^2+5}=\frac{5}{3}. \]
Как решать:
Разделим числитель и знаменатель на \(x^2\) — старшую степень в выражении: \[ \frac{5x^2+x+1}{3x^2+5} = \frac{5+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{3+\frac{5}{x^2}}. \]
При \(x\to\infty\) дроби \(\frac{1}{x}\), \(\frac{1}{x^2}\) и \(\frac{5}{x^2}\) стремятся к нулю. Поэтому \[ \lim_{x\to\infty}\frac{5x^2+x+1}{3x^2+5} = \frac{5+0+0}{3+0} = \frac{5}{3}. \]
Правило для похожих заданий: если степени многочленов в числителе и знаменателе одинаковые, предел равен отношению их старших коэффициентов. Здесь старшие коэффициенты — \(5\) и \(3\), поэтому ответ \(\frac{5}{3}\).
Обсуждение
3 сообщенияВычислить пределы функции
Ответ: \[ \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}3x}{5x}=\frac{3}{5}. \]
Решение по шагам:
Используем первый замечательный предел: \[ \lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{tg}t}{t}=1. \]
Преобразуем выражение так, чтобы под знаком тангенса и в знаменателе стояло одно и то же — \(3x\): \[ \frac{\operatorname{tg}3x}{5x} = \frac{\operatorname{tg}3x}{3x}\cdot\frac{3x}{5x} = \frac{\operatorname{tg}3x}{3x}\cdot\frac{3}{5}. \]
При \(x\to 0\) величина \(3x\to 0\), значит первый множитель стремится к \(1\): \[ \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}3x}{5x} = 1\cdot\frac{3}{5} = \frac{3}{5}. \]
Проверка: при малых \(x\) выполняется \(\operatorname{tg}3x\approx 3x\), поэтому \[ \frac{\operatorname{tg}3x}{5x}\approx\frac{3x}{5x}=\frac{3}{5}. \] Ответ подтверждается.
Принцип для похожих примеров: если \(\sin\), \(\operatorname{tg}\) или \(\arcsin\), \(\operatorname{arctg}\) стоят с аргументом \(kx\), то такой предел даёт \(\frac{k}{\text{коэффициент при }x\text{ в знаменателе}}\).
Исследовать на непрерывность и построить графики функций
