1. Постройте точки пересечения прямой MN с плоскостями ABC и DD1C1.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
ВАРИАНТ 2

1. Постройте точки пересечения прямой $MN$ с плоскостями $ABC$ и $DD_1C_1$.
[Рисунок: куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$; на ребре $AA_1$ отмечена точка $M$, на ребре $A_1D_1$ — точка $N$.]

2. Постройте сечения, проходящие через указанные точки.
[Рисунок: куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$; отмечены точки $B$, $D$ и точка $M$ на ребре $C_1D_1$.]
[Рисунок: куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$; отмечены точка $M$ на ребре $AA_1$, точка $N$ на ребре $AD$, точка $P$ на ребре $B_1C_1$.]

Answer

Краткий ответ

1. Искомые точки:
$$
K=MN\cap(ABC),\qquad L=MN\cap(DD_1C_1).
$$
На твоём рисунке $K$ лежит на продолжении $AD$ за $A$, а $L$ — на продолжении $DD_1$ за $D_1$.

2. Верхний куб: сечение — четырёхугольник $BDMT$.
Нижний куб: сечение — шестиугольник $MNFGPE$.

Новые буквы $K,L,T,E,F,G$ нужны только для объяснения — подпиши их на чертеже.

Как строить

1. Точки пересечения $MN$ с плоскостями

Прямая $MN$ лежит в передней грани $AA_1D_1D$.

Передняя грань пересекает плоскость $ABC$ по прямой $AD$. Поэтому продли $MN$ до встречи с продолжением $AD$ за точкой $A$. Получишь $K$.

Передняя грань пересекает плоскость $DD_1C_1$ по прямой $DD_1$. Поэтому продли $MN$ до встречи с продолжением $DD_1$ за точкой $D_1$. Получишь $L$.

Проведи через $M$ и $N$ одну прямую и отметь на ней обе эти точки.

2. Верхний куб: сечение через $B$, $D$, $M$

Точка $M$ лежит на ребре $C_1D_1$.

1. Соедини $B$ и $D$ — это след сечения в нижней грани.

2. В верхней грани через $M$ проведи прямую, параллельную $BD$. Она пересечёт ребро $B_1C_1$ в точке $T$.

3. Соедини $D$ с $M$, а $B$ с $T$.

Сечение:
$$
BDMT.
$$

Почему $MT\parallel BD$: верхняя и нижняя грани куба параллельны, значит, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым.

3. Нижний куб: сечение через $M$, $N$, $P$

Дано:
$$
M\in AA_1,\qquad N\in AD,\qquad P\in B_1C_1.
$$

1. Соедини $M$ и $N$ — это сторона сечения в передней грани.

2. Продли $MN$ до пересечения с прямой $A_1D_1$. Получишь вспомогательную точку $X$.

3. В верхней грани проведи $PX$. Пусть она пересечёт $A_1B_1$ в точке $E$.

4. Через $P$ проведи прямую, параллельную $MN$. Пусть она пересечёт $CC_1$ в точке $G$.

5. Через $N$ проведи прямую, параллельную $PE$. Пусть она пересечёт $CD$ в точке $F$.

6. Соедини последовательно:
$$
M\to N\to F\to G\to P\to E\to M.
$$

Получится шестиугольник $MNFGPE$.

Проверка: его стороны лежат в гранях куба:

$MN$ — в передней;

$NF$ — в нижней;

$FG$ — в правой;

$GP$ — в задней;

$PE$ — в верхней;

$EM$ — в левой.

1. Постройте точки пересечения прямой MN с плоскостями ABC и DD1C1.

Краткий ответ

Как строить

1. Точки пересечения \(MN\) с плоскостями

2. Верхний куб: сечение через \(B\), \(D\), \(M\)

3. Нижний куб: сечение через \(M\), \(N\), \(P\)

Обсуждение