Выполни номер 984 , рисунок , дано, найти , решение.

В № 984 нужно не находить число, а доказать утверждение. Оно верно: средняя линия трапеции проходит через середины обеих диагоналей.

Рисунок. Нарисуй трапецию \(ABCD\), где \(AD\parallel BC\) (удобно \(AD\) — нижнее основание). Отметь \(M\) — середину \(AB\), \(N\) — середину \(CD\). Соедини \(M\) и \(N\) — это средняя линия. Проведи диагонали \(AC\) и \(BD\). Пусть \(P=AC\cap MN\), \(Q=BD\cap MN\).

Дано:
\(ABCD\) — трапеция, \(AD\parallel BC\);
\(M\) — середина \(AB\), \(N\) — середина \(CD\);
\(MN\) — средняя линия;
\(P=AC\cap MN\), \(Q=BD\cap MN\).

Доказать:
\(P\) — середина \(AC\), \(Q\) — середина \(BD\).

Доказательство.

1. Так как \(MN\) — средняя линия трапеции,
   \[ MN\parallel AD\parallel BC. \]

2. Рассмотрим \(\triangle ABC\).
   \(M\) — середина \(AB\), а \(MP\parallel BC\). Значит,
   \[ \triangle AMP\sim\triangle ABC \] с коэффициентом \(\frac{AM}{AB}=\frac12\). Поэтому \[ \frac{AP}{AC}=\frac12, \] то есть \(AP=PC\). Следовательно, \(P\) — середина диагонали \(AC\).

3. Рассмотрим \(\triangle ABD\).
   \(M\) — середина \(AB\), а \(MQ\parallel AD\). Тогда \[ \triangle BMQ\sim\triangle BAD \] с коэффициентом \(\frac{BM}{BA}=\frac12\). Поэтому \[ \frac{BQ}{BD}=\frac12, \] то есть \(BQ=QD\). Значит, \(Q\) — середина диагонали \(BD\).

4. Обе точки \(P\) и \(Q\) лежат на средней линии \(MN\). Поэтому средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей.

Ключевой принцип. В треугольнике прямая, проведённая через середину одной стороны параллельно другой стороне, проходит через середину третьей стороны. В трапеции средняя линия параллельна основаниям, поэтому этот факт применяется дважды — к \(\triangle ABC\) и \(\triangle ABD\).

Ответ: доказано.