Исследовать на непрерывность и построить графики функций

Краткий ответ

Область определения: \(\mathbb{R}\). Функция непрерывна во всех точках, кроме \(x=2\). В точке \(x=0\) разрыва нет. В точке \(x=2\) — разрыв первого рода со скачком \(7\):

\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=9,\qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=2,\qquad f(2)=9. \]

То есть слева график подходит к уровню \(9\), а справа начинается с уровня \(2\).

Решение по шагам

Функция задана так:

\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x\le 0,\\ (x+1)^2, & 0<x\le 2,\\ -x+4, & x>2. \end{cases} \]

Каждая «ветвь» — многочлен, а многочлены непрерывны. Поэтому проверять нужно только точки стыка: \(x=0\) и \(x=2\).

1. Точка \(x=0\)

Слева:

\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x+1)=1. \]

Справа:

\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(x+1)^2=1. \]

Значение функции:

\[ f(0)=0+1=1. \]

Односторонние пределы равны значению функции, поэтому в \(x=0\) функция непрерывна.

2. Точка \(x=2\)

Слева:

\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^-}(x+1)^2=(2+1)^2=9. \]

Справа:

\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=\lim_{x\to2^+}(-x+4)=-2+4=2. \]

Значение функции:

\[ f(2)=(2+1)^2=9. \]

Предел слева и предел справа конечны, но не равны:

\[ 9\ne 2. \]

Значит, в точке \(x=2\) разрыв. Так как оба односторонних предела конечны, это разрыв первого рода. Величина скачка:

\[ |9-2|=7. \]

Как строить график

Ветвь 1: \(y=x+1\) при \(x\le0\)

Это прямая. Удобные точки:

\[ (-1;0),\quad (0;1). \]

При \(x\le0\) берём левую часть прямой и ставим стрелку влево-вниз. Точка \((0;1)\) закрашена.

Ветвь 2: \(y=(x+1)^2\) при \(0<x\le2\)

Это часть параболы с вершиной в точке \((-1;0)\), но берём только \(0<x\le2\). Удобные точки:

\[ (1;4),\quad (2;9). \]

Кривая идёт вверх и заканчивается закрашенной точкой \((2;9)\).

Ветвь 3: \(y=-x+4\) при \(x>2\)

Это прямая, идущая вниз. Удобные точки:

\[ (2;2),\quad (3;1),\quad (4;0). \]

Точка \((2;2)\) выколота, потому что условие \(x>2\) не включает \(x=2\). Далее прямая уходит вправо-вниз, стрелка вправо.

Главное на графике

• В точке \((0;1)\) куски смыкаются — разрыва нет.
• В точке \(x=2\):
  • закрашенная точка \((2;9)\);
  • выколотая точка \((2;2)\);
  • между ними вертикальный «скачок» величиной \(7\).

В кадре виден только пункт 1. Если нужно, пришлите остальные пункты полностью.