Для чего нужна эта формула в геометрии 8 класс
На фото (запись повёрнута на 90°) формула площади равностороннего треугольника:
\[S=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\]
Кратко: это площадь правильного (равностороннего) треугольника со стороной \(a\). В 8 классе она нужна, чтобы быстро считать площадь, не находя каждый раз высоту; дальше она пригодится в задачах о правильных многоугольниках и вписанной/описанной окружности.
Откуда она берётся (ключевые шаги)
- Проводим высоту \(h\) к основанию. В равностороннем треугольнике она же медиана, поэтому делит сторону пополам: получаются два прямоугольных треугольника с катетами \(h\) и \(\frac{a}{2}\) и гипотенузой \(a\).
- Теорема Пифагора: \[h^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=a^{2}\ \Rightarrow\ h^{2}=a^{2}-\frac{a^{2}}{4}=\frac{3a^{2}}{4}\ \Rightarrow\ h=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\]
- Обычная формула площади \(S=\frac{1}{2}ah\): \[S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\]
Проверка: пусть \(a=6\). Тогда \(h=3\sqrt{3}\), а \(S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3\sqrt{3}=9\sqrt{3}\). По формуле: \(\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\). Совпадает.
Важное ограничение: формула годится только для треугольника, у которого все три стороны равны. Для равнобедренного, но не равностороннего, считай через \(S=\frac{1}{2}ah\) (или по формуле Герона).
