1. Плоское зеркало повернули на угол α =18° вокруг оси, лежащей в плоскости зеркала.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Плоское зеркало повернули на угол \(\alpha=18^\circ\) вокруг оси, лежащей в плоскости зеркала. На какой угол повернется отраженный луч?
Изображение предмета имеет высоту \(H=2\) см. Какое фокусное расстояние \(F\) должна иметь линза, расположенная на расстоянии \(f=3\) см от экрана, чтобы изображение данного предмета на экране имело высоту \(h=0{,}9\) м?
Лампочка настольной лампы находится на расстоянии \(h=0{,}6\) м от поверхности стола и \(H=1{,}8\) м от потолка. На столе лежит круглое зеркало диаметром \(d=10\) см. Каковы размер и форма «зайчика», полученного на потолке от зеркала?
На фото три задачи, поэтому решаю все.
Кратко:
- \(36^\circ\).
- \(F\approx 0{,}065\) см \(\approx 0{,}65\) мм; линза собирающая.
- Круг диаметром \(50\) см.
1. Поворот плоского зеркала
При повороте зеркала на угол \(\alpha\) его нормаль тоже поворачивается на \(\alpha\). Угол падения и угол отражения отсчитываются от нормали, поэтому направление отражённого луча изменяется на удвоенный угол:
\[ 2\alpha=2\cdot 18^\circ=36^\circ. \]
Ответ: \(36^\circ\).
2. Фокусное расстояние линзы
Дано: \[ H=2\text{ см},\qquad h=0{,}9\text{ м}=90\text{ см},\qquad b=3\text{ см}. \]
Для действительного изображения на экране линейное увеличение \[ k=\frac{h}{H}=\frac{90}{2}=45. \]
Оно также равно \(k=\frac{b}{a}\), где \(a\) — расстояние от предмета до линзы. Значит, \[ a=\frac{b}{k}=\frac{3}{45}=\frac{1}{15}\text{ см}. \]
По формуле тонкой линзы: \[ \frac{1}{F}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} =15+\frac{1}{3}=\frac{46}{3}\ \text{см}^{-1}. \]
Отсюда \[ F=\frac{3}{46}\text{ см}\approx 0{,}065\text{ см}\approx 0{,}65\text{ мм}. \]
Ответ: \(F\approx 0{,}065\) см, или около \(0{,}65\) мм.
3. «Зайчик» на потолке
Построим мнимое изображение лампочки в плоском зеркале. Оно находится ниже стола на \(h=0{,}6\) м.
Расстояние от этого мнимого изображения до потолка: \[ L=h+(h+H)=2h+H. \]
То есть \[ L=2\cdot0{,}6+1{,}8=3{,}0\text{ м}. \]
До плоскости зеркала от мнимого изображения \(h=0{,}6\) м. Поэтому увеличение размеров: \[ M=\frac{L}{h}=\frac{3{,}0}{0{,}6}=5. \]
Диаметр зайчика: \[ D=Md=5\cdot10\text{ см}=50\text{ см}. \]
Плоскости зеркала и потолка параллельны, поэтому круглое зеркало даёт на потолке тоже круг — только большего размера.
Ответ: круг диаметром \(50\) см.
Обсуждение
4 сообщенияВо втором не b, а f
Точно, я перепутал обозначения: на фото расстояние от линзы до экрана обозначено строчной \(f=3\) см — это расстояние до изображения. Исправляю, верхние ответы к 1 и 3 не меняются.
Кратко: \(F=\frac{3}{46}\text{ см}\approx 0{,}065\text{ см}\approx 0{,}65\text{ мм}\).
2. Фокусное расстояние линзы (с учётом \(f\))
Дано: \[ H=2\text{ см},\qquad h=0{,}9\text{ м}=90\text{ см},\qquad f=3\text{ см}. \]
Здесь \(F\) — фокусное расстояние, а \(f\) — расстояние от линзы до экрана (до изображения). Это разные величины.
Изображение действительное (получено на экране), значит линза собирающая, и формула тонкой линзы имеет вид \[ \frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}, \] где \(d\) — расстояние от предмета до линзы.
1) Увеличение: \[ k=\frac{h}{H}=\frac{90}{2}=45. \]
2) Расстояние до предмета. Для действительного изображения \[ k=\frac{f}{d}\quad\Rightarrow\quad d=\frac{f}{k}=\frac{3}{45}=\frac{1}{15}\text{ см}. \]
3) Формула линзы: \[ \frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f} =15+\frac{1}{3}=\frac{46}{3}\ \text{см}^{-1}. \] Отсюда \[ F=\frac{3}{46}\text{ см}\approx 0{,}065\text{ см}\approx 0{,}65\text{ мм}. \]
Проверка: \(d=\frac{1}{15}\approx0{,}0667\) см, и \(d>F\approx0{,}0652\) см — условие действительного изображения выполнено. Подстановка даёт \(\frac{1}{F}-\frac{1}{d}=15{,}\overline{3}-15=\frac{1}{3}\), то есть \(f=3\) см. ✓
Ответ: \(F=\frac{3}{46}\) см \(\approx 0{,}065\) см \(\approx 0{,}65\) мм.
Задачу номер 3 прлробно
Задача 3 — подробно
Кратко: «зайчик» имеет форму круга, его диаметр 50 см (радиус 25 см).
Дано
\[ h=0{,}6\ \text{м — от стола (зеркала) до лампочки}, \] \[ H=1{,}8\ \text{м — от лампочки до потолка}, \] \[ d=10\ \text{см}=0{,}1\ \text{м — диаметр зеркала}. \]
Высота потолка над столом: \[ h+H=0{,}6+1{,}8=2{,}4\ \text{м}. \]
Шаг 1. Строим мнимое изображение лампочки
Зеркало плоское и лежит на столе. Изображение \(S'\) точки \(S\) (лампочки) симметрично ей относительно плоскости зеркала, поэтому \(S'\) находится под столом на таком же расстоянии \(h=0{,}6\) м.
Схема (разрез, вертикальная ось — расстояние от плоскости стола):
- лампочка \(S\): \(+0{,}6\) м;
- плоскость зеркала: \(0\);
- мнимое изображение \(S'\): \(-0{,}6\) м;
- потолок: \(+1{,}8+0{,}6=+2{,}4\) м.
Шаг 2. Какие лучи образуют границу «зайчика»
После отражения лучи идут так, как если бы они выходили из точки \(S'\) (это и значит «мнимое изображение»). Границу светлого пятна на потолке дают лучи, попадающие на край зеркала: лучи, упавшие внутрь зеркала, дают точки внутри пятна.
Значит, пятно на потолке — это центральная проекция круга-зеркала из точки \(S'\) на параллельную ему плоскость потолка.
Шаг 3. Подобие (гомотетия) и коэффициент увеличения
Расстояние от \(S'\) до плоскости зеркала: \[ 0-(-0{,}6)=0{,}6\ \text{м}=h. \]
Расстояние от \(S'\) до потолка: \[ 2{,}4-(-0{,}6)=3{,}0\ \text{м}=2h+H. \]
Треугольники «\(S'\) — край зеркала — ось» и «\(S'\) — край пятна — ось» подобны (общий угол при \(S'\), прямые углы при плоскостях). Поэтому коэффициент увеличения: \[ k=\frac{2h+H}{h}=\frac{3{,}0}{0{,}6}=5. \]
Шаг 4. Размер и форма
Диаметр пятна: \[ D=kd=5\cdot10=50\ \text{см}=0{,}5\ \text{м}. \]
Форма: плоскости зеркала и потолка параллельны, а центральная проекция окружности на параллельную плоскость — снова окружность (без искажения). Значит, «зайчик» — круг.
Проверка через углы
Из \(S'\) зеркало видно под углом с полууглом \(\theta\): \[ \tan\theta=\frac{d/2}{h}=\frac{5\text{ см}}{60\text{ см}}=\frac{1}{12}. \]
На потолке на расстоянии \(3{,}0\) м от \(S'\): \[ R=3{,}0\cdot\tan\theta=3{,}0\cdot\frac{1}{12}=0{,}25\ \text{м}=25\ \text{см}, \] то есть \(D=2R=50\) см. Совпадает. ✓
Ответ
Форма — круг; диаметр \(D=50\) см (радиус 25 см). Для справки площадь пятна: \[ S=\frac{\pi D^2}{4}\approx 1960\ \text{см}^2\approx 0{,}2\ \text{м}^2. \]
Идея решения: плоское зеркало заменяем мнимым изображением источника, а «зайчик» — это проекция зеркала из этой мнимой точки на параллельную плоскость; отношение расстояний даёт увеличение.
