Задание: ABCD — трапеция, AD = 12, BC = 8 Найти: EF
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Опрос: — Что называется многоугольником? — Что такое параллелограмм? — Свойства параллелограмма? — Что такое прямоугольник? — Свойства прямоугольника? — Что такое ромб? — Свойства ромба? — Что такое квадрат? — Свойства квадрата? — Что такое трапеция? — Какая трапеция называется равнобокой? — Свойства равнобокой трапеции? — Чему равен периметр многоугольника? — Сформулируйте теорему Фалеса. — Что такое средняя линия треугольника? — Какие свойства средней линии треугольника вы знаете? — Средняя линия трапеции и ее св-ва.
Задание [Рисунок: трапеция \(ABCD\), основания \(AD\) и \(BC\), на боковых сторонах \(AB\) и \(CD\) отмечены точки \(E\) и \(F\), \(EF\) параллельна основаниям] \(ABCD\) — трапеция, \(AD = 12\), \(BC = 8\) Найти: \(EF\)
[Рисунок: трапеция \(ABCD\), основания \(AD\) и \(BC\), на боковых сторонах \(AB\) и \(CD\) отмечены точки \(E\) и \(F\), \(EF\) параллельна основаниям] \(ABCD\) — трапеция, \(AD = 14\), \(EF = 13\) Найти: \(BC\)
[Рисунок: трапеция \(ABCD\), основания \(AD\) и \(BC\), на боковых сторонах \(AB\) и \(CD\) отмечены точки \(E\) и \(F\), \(EF\) параллельна основаниям; на отрезках \(AE\), \(EB\), \(CF\), \(FD\) показаны засечки] \(ABCD\) — трапеция, \(EF = 13\) \(AD > BC\) на 6 Найти: \(AD\), \(BC\)
[Рисунок: равнобедренная трапеция \(ABCD\), основания \(AD\) и \(BC\), на боковых сторонах \(AB\) и \(CD\) отмечены точки \(E\) и \(F\), \(EF\) параллельна основаниям; углы \(A\) и \(D\) отмечены дугами] \(ABCD\) — трапеция, \(\angle A = 60^\circ\) \(AB = 10\), \(BC = 5\) Найти: \(EF\)
[Рисунок: трапеция \(ABCD\), основания \(AD\) и \(BC\), на боковых сторонах отмечены точки \(E\) и \(F\), проведена средняя линия \(EF\); ниже на \(AE\) и \(DF\) отмечены \(E_1\) и \(F_1\), проведена \(E_1F_1\); выше на \(EB\) и \(FC\) отмечены \(E_2\) и \(F_2\), проведена \(E_2F_2\)] \(EF\) — ср. линия трапеции \(ABCD\), \(E_1F_1\) — ср. линия трапеции \(AEFD\), \(E_2F_2\) — ср. линия трапеции \(EBCF\), \(E_1F_1 = 18\), \(E_2F_2 = 12\) Найти: \(AD\)
Краткий ответ
- \(EF=10\);
- \(BC=12\);
- \(AD=16,\ BC=10\);
- \(EF=10\);
- \(AD=21\).
Главная формула
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:
\[ EF=\frac{AD+BC}{2}. \]
В задачах 1–4 точки \(E\) и \(F\) — середины боковых сторон, поэтому \(EF\) — средняя линия трапеции. В задаче 5 это сказано явно.
Задача 1
\[ EF=\frac{AD+BC}{2}=\frac{12+8}{2}=10. \]
Ответ: \(10\).
Задача 2
\[ 13=\frac{14+BC}{2} \]
\[ 26=14+BC \]
\[ BC=12. \]
Ответ: \(12\).
Задача 3
Пусть \(AD=x\), \(BC=y\). Тогда
\[ \begin{cases} \dfrac{x+y}{2}=13,\\[4pt] x-y=6. \end{cases} \]
Из первого уравнения:
\[ x+y=26. \]
Сложим со вторым:
\[ 2x=32 \Rightarrow x=16. \]
Тогда
\[ y=26-16=10. \]
Ответ: \(AD=16,\ BC=10\).
Задача 4
На рисунке углы \(A\) и \(D\) отмечены равными, значит трапеция равнобедренная.
Проекция боковой стороны \(AB\) на основание \(AD\):
\[ AB\cos 60^\circ=10\cdot \frac12=5. \]
Такая же проекция есть с другой стороны, поэтому
\[ AD=BC+2\cdot 5=5+10=15. \]
Теперь
\[ EF=\frac{AD+BC}{2}=\frac{15+5}{2}=10. \]
Ответ: \(10\).
Задача 5
Обозначим \(AD=a\), \(BC=b\). Тогда
\[ EF=\frac{a+b}{2}. \]
Для трапеции \(AEFD\) средняя линия:
\[ E_1F_1=\frac{AD+EF}{2} =\frac{a+\frac{a+b}{2}}{2} =\frac{3a+b}{4}=18. \]
Для трапеции \(EBCF\):
\[ E_2F_2=\frac{EF+BC}{2} =\frac{\frac{a+b}{2}+b}{2} =\frac{a+3b}{4}=12. \]
Получаем систему:
\[ \begin{cases} 3a+b=72,\\ a+3b=48. \end{cases} \]
Умножим второе уравнение на 3:
\[ 3a+9b=144. \]
Вычтем первое:
\[ 8b=72 \Rightarrow b=9. \]
Тогда
\[ a=48-3\cdot 9=48-27=21. \]
Ответ: \(AD=21\).
Проверка: \(EF=\frac{21+9}{2}=15\), \(E_1F_1=\frac{21+15}{2}=18\), \(E_2F_2=\frac{15+9}{2}=12\). Всё сходится.
Ответы на опрос
- Многоугольник — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений.
- Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
- Свойства параллелограмма: противоположные стороны и углы равны; диагонали точкой пересечения делятся пополам; сумма соседних углов равна \(180^\circ\).
- Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.
- Свойства прямоугольника: все свойства параллелограмма; диагонали равны.
- Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.
- Свойства ромба: все свойства параллелограмма; диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам.
- Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны (или ромб с прямыми углами).
- Свойства квадрата: все свойства прямоугольника и ромба.
- Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
- Равнобокая трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны.
- Свойства равнобокой трапеции: углы при каждом основании равны; диагонали равны.
- Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон.
- Теорема Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
- Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
- Свойства средней линии треугольника: она параллельна третьей стороне и равна её половине.
- Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон; она параллельна основаниям и равна их полусумме.
