Контрольная работа №1 «Квадратные корни. Степени. Квадратный трехчлен».

На фото два варианта, поэтому решаю оба. Везде рассматриваются действительные числа.

Вариант 1

1.

1. \(0{,}8\sqrt{100}+\frac{1}{2}\sqrt{49}=0{,}8\cdot10+0{,}5\cdot7=11{,}5\).
2. \(\sqrt{0{,}36\cdot16}=0{,}6\cdot4=2{,}4\).
3. \(\sqrt{36\cdot2^4}=6\cdot2^2=24\).
4. \(\sqrt{27}\cdot\sqrt3-\frac{\sqrt{28}}{\sqrt7}=9-2=7\).

2.

1. \(x^2=3 \Rightarrow x=\pm\sqrt3\).
2. \(x^2=-9 \Rightarrow\) действительных корней нет.
3. \(\sqrt{x}=25 \Rightarrow x=25^2=625\).
4. \(\sqrt{x}=-4 \Rightarrow\) корней нет, так как \(\sqrt{x}\ge0\).

3.

1. \(5\sqrt2-4\sqrt8+3\sqrt{32}=5\sqrt2-8\sqrt2+12\sqrt2=9\sqrt2\).
2. \((\sqrt{75}-\sqrt{12})\sqrt3=(5\sqrt3-2\sqrt3)\sqrt3=9\).
3. \((\sqrt7-3)^2=7-6\sqrt7+9=16-6\sqrt7\).
4. \((\sqrt5+2\sqrt2)(\sqrt5-2\sqrt2)=5-8=-3\).

4.

1. \(a^{-8}\cdot a^{10}=a^2\).
2. \(a^{-14}:a^{-2}=a^{-14-(-2)}=a^{-12}\).
3. \((a^{-6})^3\cdot a^{15}=a^{-18+15}=a^{-3}\).

5.
\(0{,}3m^2n^{10}\cdot1{,}3m^7n^{15}=0{,}39m^9n^{25}\).

6.

1. \(4^{-2}+\left(\frac43\right)^{-1}=\frac1{16}+\frac34=\frac{13}{16}\).
2. \(\frac{11^{-5}\cdot11^9}{11^{-13}}=11^{-5+9-(-13)}=11^{17}\).

7.

1. \(\frac{x-9}{\sqrt x+3}=\sqrt x-3\), \(x\ge0\).
2. \(\frac{5-2\sqrt5}{\sqrt5}=\sqrt5-2\).
3. \(\frac{a-1}{a-2\sqrt a+1}=\frac{(\sqrt a-1)(\sqrt a+1)}{(\sqrt a-1)^2}=\frac{\sqrt a+1}{\sqrt a-1}\), \(a\ge0,\ a\ne1\).
4. \(\frac{3a^2+7a-6}{a^2-9}=\frac{(3a-2)(a+3)}{(a-3)(a+3)}=\frac{3a-2}{a-3}\), \(a\ne\pm3\).

Вариант 2

1.

1. \(0{,}5\sqrt{8100}-\frac14\sqrt{64}=0{,}5\cdot90-\frac14\cdot8=45-2=43\).
2. \(\sqrt{0{,}49\cdot25}=0{,}7\cdot5=3{,}5\).
3. \(\sqrt{5^6\cdot2^2}=5^3\cdot2=250\).
4. \(\sqrt{18}\cdot\sqrt2-\frac{\sqrt{27}}{\sqrt3}=6-3=3\).

2.

1. \(x^2=11 \Rightarrow x=\pm\sqrt{11}\).
2. \(x^2=-29 \Rightarrow\) действительных корней нет.
3. \(\sqrt{x}=81 \Rightarrow x=81^2=6561\).
4. \(\sqrt{x}=-1 \Rightarrow\) корней нет.

3.

1. \(2\sqrt3+5\sqrt{12}-3\sqrt{27}=2\sqrt3+10\sqrt3-9\sqrt3=3\sqrt3\).
2. \((\sqrt{32}-\sqrt8)\sqrt2=(4\sqrt2-2\sqrt2)\sqrt2=4\).
3. \((\sqrt5-2)^2=5-4\sqrt5+4=9-4\sqrt5\).
4. \((\sqrt6+4\sqrt3)(\sqrt6-4\sqrt3)=6-48=-42\).

4.

1. \(b^{-6}\cdot b^4=b^{-2}\).
2. \(b^2:b^{-7}=b^{2-(-7)}=b^9\).
3. \((b^{-5})^{-2}\cdot b^{-8}=b^{10}\cdot b^{-8}=b^2\).

5.
\(0{,}4a^{14}b^{-9}\cdot1{,}6a^{-8}b^{17}=0{,}64a^6b^8\).

6.

1. \(3^{-2}+\left(\frac{13}{5}\right)^{-1}=\frac19+\frac5{13}=\frac{13+45}{117}=\frac{58}{117}\).
2. \(\frac{13^{-8}\cdot13^{-7}}{13^{-14}}=13^{-8-7-(-14)}=13^{-1}=\frac1{13}\).

7.

1. \(\frac{c-36}{\sqrt c-6}=\sqrt c+6\), \(c\ge0,\ c\ne36\).
2. \(\frac{7+3\sqrt7}{\sqrt7}=\sqrt7+3\).
3. \(\frac{b-4}{b+4\sqrt b+4}=\frac{(\sqrt b-2)(\sqrt b+2)}{(\sqrt b+2)^2}=\frac{\sqrt b-2}{\sqrt b+2}\), \(b\ge0\).
4. \(\frac{5a^2+3a-2}{a^2-1}=\frac{(5a-2)(a+1)}{(a-1)(a+1)}=\frac{5a-2}{a-1}\), \(a\ne\pm1\).

Что важно понять

• Корень из произведения раскладывается: \(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\) для \(a,b\ge0\). Поэтому \(\sqrt{32}=4\sqrt2\), после чего подобные корни просто складываются как одинаковые буквы.
• \(\sqrt{x}\) не бывает отрицательным. Уравнение \(\sqrt{x}=a\) имеет решение только при \(a\ge0\), и тогда \(x=a^2\). У уравнения \(x^2=a\) при \(a<0\) действительных корней нет, а при \(a\ge0\) корни \(\pm\sqrt a\).
• Для степеней: \(a^m a^n=a^{m+n}\), \(a^m:a^n=a^{m-n}\), \((a^m)^n=a^{mn}\), \(a^{-n}=\frac1{a^n}\).
• Дроби с \(\sqrt{x}\) удобно сокращать заменой \(t=\sqrt{x}\): тогда \(x-9=(t-3)(t+3)\), \(a-2\sqrt a+1=(t-1)^2\).
• Квадратный трёхчлен раскладывается на множители через корни или группировку, после чего общая скобка сокращается. Исключённые значения, при которых исходный знаменатель равен нулю, всё равно нельзя забывать.

Проверка сокращений: в варианте 1 №7.4 при \(a=0\) исходная дробь равна \(\frac{-6}{-9}=\frac23\), упрощённая — \(\frac{-2}{-3}=\frac23\).