2 вариант
Сверь числа и знаки с фото.
ГЛАВА 7. Показательная и логарифмическая функции С-13. Показательная функция, ее свойства и график Вариант 2 Дана функция \(y = f(x)\), где \(f(x) = 2^{x+1}\).
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(y = f(x)\) на отрезке \([-1; 2]\).
- На каком отрезке функция \(y = f(x)\) принимает наибольшее значение, равное 16, наименьшее значение, равное 0,5?
- Решите уравнение \(f(x) = -3x + 7\).
Краткий ответ
- Наибольшее значение \(y_{\max}=8\) при \(x=2\), наименьшее \(y_{\min}=1\) при \(x=-1\).
- Отрезок \([-2;3]\).
- \(x=1\).
Разбор и принцип
Дана функция \[ f(x)=2^{x+1}. \] Так как основание степени \(2>1\), показательная функция \(2^t\) возрастает. Поэтому \(f(x)=2^{x+1}\) тоже строго возрастает: с увеличением \(x\) увеличивается и значение функции.
Значит, на любом отрезке \([a;b]\) наименьшее значение достигается в левом конце \(a\), а наибольшее — в правом конце \(b\): \[ f(a)\le f(x)\le f(b). \]
На отрезке \([-1;2]\): \[ f(-1)=2^{-1+1}=2^0=1, \] \[ f(2)=2^{2+1}=2^3=8. \] Следовательно, наименьшее значение равно \(1\), наибольшее — \(8\).
Пусть искомый отрезок — \([a;b]\). Так как функция возрастает: \[ f(a)=0{,}5,\qquad f(b)=16. \] Запишем \(0{,}5=2^{-1}\), \(16=2^4\): \[ 2^{a+1}=2^{-1}\Rightarrow a+1=-1\Rightarrow a=-2, \] \[ 2^{b+1}=2^4\Rightarrow b+1=4\Rightarrow b=3. \] Получаем отрезок \([-2;3]\).
Решаем уравнение: \[ 2^{x+1}=-3x+7. \] Подходит \(x=1\), потому что \[ 2^{1+1}=4,\qquad -3\cdot1+7=4. \] Других корней нет: левая часть \(2^{x+1}\) возрастает, а правая \(7-3x\) убывает, поэтому графики могут пересечься не более одного раза. Значит, корень единственный: \[ x=1. \]
Обсуждение
4 сообщениярешения только
Вариант 2
\[ f(-1)=2^{0}=1,\qquad f(2)=2^{3}=8. \] \[ \boxed{y_{\min}=1,\quad y_{\max}=8} \]
\[ 2^{a+1}=0{,}5=2^{-1}\Rightarrow a=-2, \] \[ 2^{b+1}=16=2^{4}\Rightarrow b=3. \] \[ \boxed{[-2;3]} \]
\[ 2^{x+1}=-3x+7. \] Корень: \[ x=1, \] так как \(2^{1+1}=4\) и \(-3\cdot1+7=4\). Корень единственный, потому что левая часть возрастает, а правая убывает. \[ \boxed{x=1} \]
нужны решения полные, но без объяснения
Вариант 2
\[ f(x)=2^{x+1},\qquad f'(x)=2^{x+1}\ln 2>0,\qquad f(x)\nearrow \] \[ f(-1)=2^{-1+1}=2^0=1, \] \[ f(2)=2^{2+1}=2^3=8. \] \[ \boxed{y_{\min}=1,\quad y_{\max}=8} \]
\[ f(a)=0{,}5=2^{-1},\qquad f(b)=16=2^4. \] \[ 2^{a+1}=2^{-1}\Rightarrow a+1=-1\Rightarrow a=-2, \] \[ 2^{b+1}=2^4\Rightarrow b+1=4\Rightarrow b=3. \] \[ \boxed{[-2;3]} \]
\[ 2^{x+1}=-3x+7. \] \[ x=1:\quad 2^{1+1}=4,\qquad -3\cdot1+7=4. \] \[ g(x)=2^{x+1}+3x-7,\qquad g'(x)=2^{x+1}\ln2+3>0. \] \[ g(1)=0\Rightarrow x=1. \] \[ \boxed{x=1} \]
