№2 1. \(y = \sqrt{5x - 2}\); 2) \(y = \frac{1}{2x^2 - 5x - 3}\) ? \(5x - 2 \ge 0\) \(5x \ge 2\) \(x \ge 0{,}4\) Ответ: \(D(y) = [0{,}4; +\infty)\)

На фото — контрольная работа №1 (I вариант): три задания. Сначала короткий ответ, потом — откуда он берётся, чтобы такие же задачи решались самостоятельно.

Коротко

1. №1: нуль функции \(x = 1{,}75\); \(y > 0\) при \(x \in (-\infty; 1{,}75)\), \(y < 0\) при \(x \in (1{,}75; +\infty)\). Запись \(x = 0{,}25\) — ошибка: \(7 : 4 = 1{,}75\), а не \(0{,}25\).
2. №2: \(D(y) = [0{,}4; +\infty)\) — решено верно; для второй функции \(D(y) = (-\infty; -0{,}5) \cup (-0{,}5; 3) \cup (3; +\infty)\).
3. №3: вершина \((-2; -9)\) — верно; область значений \(E(y) = [-9; +\infty)\).

№1. Нуль функции и промежутки знакопостоянства Нуль функции — это значение \(x\), при котором \(y = 0\): \[ -4x + 7 = 0 \;\Rightarrow\; -4x = -7 \;\Rightarrow\; x = \frac{-7}{-4} = \frac{7}{4} = 1{,}75. \] В тетради получилось \(0{,}25 = \frac{1}{4}\) — при делении «потерялась» семёрка в числителе.

Знаки: коэффициент при \(x\) равен \(-4 < 0\), значит прямая убывает — слева от нуля значения положительные, справа отрицательные. Проверка точками: \(f(0) = 7 > 0\), \(f(2) = -8 + 7 = -1 < 0\).

Оформление: промежуток записывают через \(x\), а не через \(y\) (мы указываем аргументы), и скобка у нуля круглая, потому что в точке \(x = 1{,}75\) значение равно нулю, а не отрицательно: \[ f(x) < 0 \text{ при } x \in (1{,}75; +\infty). \]

Если в учебнике функция записана как \(y = -4x + 1\) (цифра на фото мелкая, читается и как 1, и как 7), то нуль равен \(0{,}25\) и \(f(x) < 0\) при \(x \in (0{,}25; +\infty)\) — тогда числа в тетради верные, а поправить нужно только запись ответа (\(x\) вместо \(y\) и круглую скобку).

№2. Область определения Правило: под корнем чётной степени выражение неотрицательно; знаменатель дроби не равен нулю.

1. \(y = \sqrt{5x - 2}\): \[ 5x - 2 \ge 0 \;\Rightarrow\; x \ge 0{,}4, \qquad D(y) = [0{,}4; +\infty). \] Скобка квадратная: при \(x = 0{,}4\) корень равен нулю, выражение существует.

2. \(y = \frac{1}{2x^2 - 5x - 3}\): нужно \(2x^2 - 5x - 3 \ne 0\). \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49, \quad \sqrt{D} = 7, \] \[ x_{1,2} = \frac{5 \pm 7}{4}, \qquad x_1 = 3, \quad x_2 = -0{,}5. \] Значит, \(x \ne 3\) и \(x \ne -0{,}5\): \[ D(y) = (-\infty; -0{,}5) \cup (-0{,}5; 3) \cup (3; +\infty). \] Все скобки круглые — сами точки выколоты.

№3. Вершина параболы Для \(y = ax^2 + bx + c\) вершина ищется по формулам \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), \(y_0 = f(x_0)\). По твоей записи \(y = x^2 + 4x - 5\), то есть \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\): \[ x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2, \qquad y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9. \] Вершина \((-2; -9)\) — посчитано верно. Так как \(a = 1 > 0\), ветви направлены вверх, значит \(y_0 = -9\) — наименьшее значение, и \(E(y) = [-9; +\infty)\) (это ответ на красный вопрос про множество значений).

Проверка

• №1: \(-4 \cdot 1{,}75 + 7 = -7 + 7 = 0\); \(f(0) = 7 > 0\), \(f(2) = -1 < 0\).
• №2: при \(x = 3\): \(2 \cdot 9 - 15 - 3 = 0\); при \(x = -0{,}5\): \(2 \cdot 0{,}25 + 2{,}5 - 3 = 0{,}5 + 2{,}5 - 3 = 0\). Оба корня действительно обнуляют знаменатель, их и исключаем.
• №3: \(4 - 8 - 5 = -9\) — сходится.