На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x)
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
8 На рисунке изображён график \(y = f'(x)\) — производной функции \(f(x)\), определённой на интервале \((-3; 8)\). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции \(f(x)\) параллельна прямой \(y = -2x + 5\) или совпадает с ней. [Рисунок: график \(y = f'(x)\); ось \(x\) с отметками \(-3\), \(0\), \(8\); ось \(y\) с отметкой \(1\); кривая с локальным максимумом слева, глубоким минимумом правее оси \(y\), затем двумя небольшими экстремумами и высоким максимумом справа; концы графика около оси \(x\).]
На рисунке изображён график \(y = f'(x)\) — производной функции \(f(x)\), определённой на интервале \((-2; 9)\). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции \(f(x)\) параллельна прямой \(y = -3x + 20\) или совпадает с ней. [Рисунок: график \(y = f'(x)\); ось \(x\) с отметками \(-2\), \(0\), \(9\); ось \(y\) с отметкой \(1\); кривая с максимумом около оси \(y\), глубоким минимумом, затем максимумом и ещё одним минимумом; концы графика ниже оси \(x\).]
8 На рисунке изображён график \(y = f'(x)\) — производной функции \(f(x)\), определённой на интервале \((-2; 10)\). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции \(f(x)\) параллельна прямой \(y = x - 17\) или совпадает с ней. [Рисунок: график \(y = f'(x)\); ось \(x\) с отметками \(-2\), \(0\), \(10\); ось \(y\) с отметкой \(1\); кривая с локальным максимумом слева от оси \(y\), глубоким минимумом, затем максимумом, небольшим минимумом, высоким максимумом и минимумом справа; концы графика около оси \(x\).]
8 На рисунке изображён график \(y = f'(x)\) — производной функции \(f(x)\). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции \(y = f(x)\) параллельна прямой \(y = 6 - 2x\) или совпадает с ней. [Рисунок: график \(y = f'(x)\); оси \(x\) и \(y\); отметка \(1\) на оси \(y\), начало координат \(0\); кривая, убывающая к минимуму, затем возрастающая; минимум расположен ниже оси \(x\).]
Я проверил по графикам. Ответы сверху вниз: 2, 2, 4, 2 (в последнем задании это абсцисса \(x=2\)).
Почему так. Касательная к графику \(f(x)\) в точке \(x_0\) имеет угловой коэффициент \[ k_{\text{кас}}=f'(x_0). \] У параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Поэтому нужно найти точки, где \[ f'(x)=k, \] где \(k\) — угловой коэффициент данной прямой. На рисунке дан график \(f'(x)\), значит, проводим горизонтальную прямую \(y=k\) и считаем точки её пересечения с графиком производной.
Верхнее задание. Прямая \(y=-2x+5\) имеет \(k=-2\). Проводим \(y=-2\): график \(f'(x)\) пересекает эту горизонталь в двух точках около глубокого минимума. В них \(f'(x)=-2\), поэтому касательные параллельны заданной прямой. Ответ: 2.
Остальные номера:
- \(y=-3x+20\), \(k=-3\). Горизонталь \(y=-3\) даёт две точки. Ответ: 2.
- \(y=x-17\), \(k=1\). Горизонталь \(y=1\) даёт четыре точки. Ответ: 4.
- \(y=6-2x\), \(k=-2\). Это точка минимума графика производной; её абсцисса \(x=2\). Ответ: 2.
Проверка: в найденных точках \(f'(x)\) совпадает с угловым коэффициентом прямой, поэтому касательная действительно параллельна ей.
