Примеры прототипов I) Действия над векторами. Длина (модуль) вектора 1. Найдите длину вектора a(3; -4).

Краткий ответ: 1) 5; 2) 29; 3) 17; 4) 20; 5) 13; 6) 25; 7) 37.

Ключевой принцип: длина вектора \(\vec{v}(x; y)\) вычисляется по формуле: \[ |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \] Если вектор задан через действия с другими векторами, сначала находим его координаты: при сложении или вычитании векторов попарно складываются или вычитаются соответствующие координаты, а при умножении на число каждая координата умножается на это число.

Подробное решение:

1. \(\vec{a}(3; -4)\) \[ |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

2. \(\vec{a}(8; -1)\), \(\vec{b}(-13; 19)\) Найдём вектор \(\vec{a} - \vec{b}\): \[ (8 - (-13); -1 - 19) = (21; -20) \] \[ |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{21^2 + (-20)^2} = \sqrt{441 + 400} = \sqrt{841} = 29 \]

3. \(\vec{a}(2; 1)\), \(\vec{b}(5; 3)\) \[ 5\vec{a} = (10; 5) \] \[ 5\vec{a} + \vec{b} = (10 + 5; 5 + 3) = (15; 8) \] \[ |5\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \]

4. \(\vec{a}(34; 0)\), \(\vec{b}(3; -2)\) \[ 6\vec{b} = (18; -12) \] \[ \vec{a} - 6\vec{b} = (34 - 18; 0 - (-12)) = (16; 12) \] \[ |\vec{a} - 6\vec{b}| = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20 \]

5. \(\vec{a}(2; 12)\), \(\vec{b}(-6; 9)\) \[ 1,3\vec{a} = (2,6; 15,6), \quad 0,4\vec{b} = (-2,4; 3,6) \] \[ 1,3\vec{a} - 0,4\vec{b} = (2,6 - (-2,4); 15,6 - 3,6) = (5; 12) \] \[ |1,3\vec{a} - 0,4\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]

6. \(\vec{a}(15; 9)\), \(\vec{b}(10; -7)\), \(\vec{c}(-2; -8)\) \[ \vec{a} - \vec{b} = (15 - 10; 9 - (-7)) = (5; 16) \] \[ \vec{a} - \vec{b} - \vec{c} = (5 - (-2); 16 - (-8)) = (7; 24) \] \[ |\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}| = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \]

7. \(\vec{a}(20; -11)\), \(\vec{b}(1; 4)\), \(\vec{c}(-2; 0)\) \[ 6\vec{b} = (6; 24) \] \[ \vec{a} - 6\vec{b} = (20 - 6; -11 - 24) = (14; -35) \] \[ \vec{a} - 6\vec{b} + \vec{c} = (14 - 2; -35 + 0) = (12; -35) \] \[ |\vec{a} - 6\vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{12^2 + (-35)^2} = \sqrt{144 + 1225} = \sqrt{1369} = 37 \]

Проверка: итоговые координаты во всех задачах образуют «пифагоровы тройки» (3-4-5, 20-21-29, 8-15-17, 12-16-20, 5-12-13, 7-24-25, 12-35-37). Это подтверждает, что корни извлекаются нацело и ответы верные.