Задание 1. Найдите область определения функций: а) f(x) = (2x - 5)/(x^2 - 3x) б) g(x) = √12 - 4x в) h(x) = x^2 - 16/x^2 + 9

Кратко

1. а) \(D(f)=(-\infty;0)\cup(0;3)\cup(3;+\infty)\);
   б) \(D(g)=(-\infty;3]\);
   в) \(D(h)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
2. Вершина параболы \((2;1)\), нули \(x=1\) и \(x=3\).
   \(y(1,5)=0,75\); \(y(-0,5)=-5,25\); при \(y=-4\): \(x=2\pm\sqrt5\).
3. По графику: \(D(y)=[-3;4]\), \(E(y)=[-3;3]\);
   нули \(x=-2,1,3\);
   \(y>0\) на \((-2;1)\cup(3;4]\), \(y<0\) на \([-3;-2)\cup(1;3)\);
   возрастает на \([-3;-1]\) и \([2;4]\), убывает на \([-1;2]\);
   \(y_{\max}=3\) при \(x=-1\), \(y_{\min}=-3\) при \(x=-3\).
4. \(x=2\).

Разбор по заданиям

1. Область определения

Область определения — это все \(x\), при которых выражение имеет смысл. Запрещены деление на ноль и отрицательное подкоренное выражение.

а) \(f(x)=\dfrac{2x-5}{x^2-3x}\).
Знаменатель не равен нулю: \[ x^2-3x=x(x-3)\ne0 \Rightarrow x\ne0,\ x\ne3. \] Значит, \(D(f)=(-\infty;0)\cup(0;3)\cup(3;+\infty)\).

б) \(g(x)=\sqrt{12-4x}\).
Подкоренное выражение неотрицательно: \[ 12-4x\ge0 \Rightarrow x\le3. \] Значит, \(D(g)=(-\infty;3]\).

в) \(h(x)=x^2-\dfrac{16}{x^2}+9\).
Здесь ограничение только на знаменатель: \[ x^2\ne0 \Rightarrow x\ne0. \] Значит, \(D(h)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Если в вашем варианте запись означает \(h(x)=\dfrac{x^2-16}{x^2+9}\), то \(x^2+9>0\) всегда, и тогда \(D(h)=\mathbb{R}\).

2. Функция \(y=-x^2+4x-3\)

Это парабола, ветви вниз, так как коэффициент при \(x^2\) отрицателен.

Вершина: \[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2, \] \[ y_0=-2^2+4\cdot2-3=1. \] Вершина — \((2;1)\).

Нули: \[ -x^2+4x-3=0 \Rightarrow x^2-4x+3=0 \Rightarrow x=1,\ x=3. \] Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0;-3)\).

Свойства:
\(D(y)=\mathbb{R}\), \(E(y)=(-\infty;1]\);
\(y>0\) при \(x\in(1;3)\), \(y<0\) при \(x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty)\);
возрастает на \((-\infty;2]\), убывает на \([2;+\infty)\);
наибольшее значение \(y_{\max}=1\) при \(x=2\), наименьшего нет.

Значения: \[ y(1,5)=-(1,5)^2+4\cdot1,5-3=-2,25+6-3=0,75; \] \[ y(-0,5)=-(-0,5)^2+4\cdot(-0,5)-3=-0,25-2-3=-5,25. \] При \(y=-4\): \[ -x^2+4x-3=-4 \Rightarrow -x^2+4x+1=0 \Rightarrow x^2-4x-1=0. \] \[ x=2\pm\sqrt5. \] То есть примерно \(x\approx4,24\) и \(x\approx-0,24\).

3. Свойства функции по графику

Считываем график на отрезке \([-3;4]\):

1. Проекция графика на ось \(x\) — область определения: \[ D(y)=[-3;4]. \] Проекция на ось \(y\) — множество значений: \[ E(y)=[-3;3]. \]

2. Нули функции — точки пересечения с осью \(x\): \[ x=-2,\quad x=1,\quad x=3. \]

3. Знаки: \[ y>0 \text{ на } (-2;1)\cup(3;4], \] \[ y<0 \text{ на } [-3;-2)\cup(1;3). \] В точках \(x=-2,1,3\) имеем \(y=0\).

4. Промежутки монотонности:
   возрастает на \([-3;-1]\) и \([2;4]\);
   убывает на \([-1;2]\).

5. Наибольшее значение: \[ y_{\max}=3 \text{ при } x=-1. \] Наименьшее значение на всём отрезке: \[ y_{\min}=-3 \text{ при } x=-3. \] В точке \(x=2\) есть локальный минимум \(y=-2\), но он не наименьший на отрезке.

4. Графическое решение \(\dfrac{4}{x}=\sqrt{x+2}\)

Строим два графика:

• \(y=\dfrac{4}{x}\) — гипербола, ветви в I и III четвертях;
• \(y=\sqrt{x+2}\) — верхняя ветвь параболы \(x=y^2-2\), вершина в точке \((-2;0)\).

Их общая точка — \((2;2)\). Поэтому \[ x=2. \]

Проверка: \[ \frac{4}{2}=2,\qquad \sqrt{2+2}=2. \] Верно.

Аналитически: при \(x>0\) \[ \frac{16}{x^2}=x+2 \Rightarrow x^3+2x^2-16=0. \] \[ x^3+2x^2-16=(x-2)(x^2+4x+8). \] Так как \(x^2+4x+8>0\), остаётся только \(x=2\).