По 3 способам найти определитель

\[ \Delta=\det A=-39. \]

Матрица из варианта 5, задание 1:

\[ A= \begin{bmatrix} -1&-2&4\\ 2&3&0\\ 2&-2&1 \end{bmatrix}. \]

1. Правило треугольника (Саррюса)

\[ \begin{aligned} \Delta={}&(-1)\cdot3\cdot1+(-2)\cdot0\cdot2+4\cdot2\cdot(-2)\\ &-\bigl(4\cdot3\cdot2+(-1)\cdot0\cdot(-2)+(-2)\cdot2\cdot1\bigr)\\ ={}&(-3+0-16)-(24+0-4)\\ ={}&-19-20=-39. \end{aligned} \]

2. Разложение по первой строке

Миноры:

\[ M_{11}= \begin{vmatrix} 3&0\\ -2&1 \end{vmatrix}=3, \qquad M_{12}= \begin{vmatrix} 2&0\\ 2&1 \end{vmatrix}=2, \]

\[ M_{13}= \begin{vmatrix} 2&3\\ 2&-2 \end{vmatrix} =2\cdot(-2)-3\cdot2=-10. \]

Тогда

\[ \begin{aligned} \Delta &=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13}\\ &=(-1)\cdot3-(-2)\cdot2+4\cdot(-10)\\ &=-3+4-40=-39. \end{aligned} \]

3. Приведение к треугольному виду

Прибавляем ко второй и третьей строкам первую, умноженную на 2:

\[ \begin{bmatrix} -1&-2&4\\ 2&3&0\\ 2&-2&1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} -1&-2&4\\ 0&-1&8\\ 0&-6&9 \end{bmatrix}. \]

Затем к третьей строке прибавляем вторую, умноженную на \(-6\):

\[ \sim \begin{bmatrix} -1&-2&4\\ 0&-1&8\\ 0&0&-39 \end{bmatrix}. \]

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали:

\[ \Delta=(-1)(-1)(-39)=-39. \]

Проверка. Все три способа дают одно и то же значение: \(-39\). Так как \(\Delta\ne0\), матрица невырожденная и имеет обратную, что соответствует записи \(\Delta\ne0\Rightarrow\exists!A^{-1}\).