Реши задание на изображении
Ответ: 25.
Считываем координаты векторов по клеткам: вправо и вверх — положительные направления.
\[ \vec a=(5;-2),\qquad \vec b=(-1;3),\qquad \vec c=(2;3). \]
Теперь находим вектор \(4\vec a+2\vec b+3\vec c\):
\[ 4\vec a=(20;-8) \]
\[ 2\vec b=(-2;6) \]
\[ 3\vec c=(6;9) \]
Складываем соответствующие координаты:
\[ 4\vec a+2\vec b+3\vec c=(20-2+6;\ -8+6+9)=(24;7). \]
Длина вектора \((x;y)\) вычисляется по формуле
\[ \sqrt{x^2+y^2}. \]
Поэтому
\[ \left|4\vec a+2\vec b+3\vec c\right|=\sqrt{24^2+7^2} =\sqrt{576+49} =\sqrt{625}=25. \]
Главный принцип: координаты вектора показывают, на сколько клеток он смещает точку по \(x\) и по \(y\). Поэтому при умножении вектора на число обе его координаты умножаются на это число, а при сложении векторов складываются соответствующие координаты.
Обсуждение
4 сообщенияЭто продолжение той же темы — векторы и действия над ними. Решу оба номера с изображения.
№ 15
Дано:
\[ \vec a=(3;-2),\qquad \vec b=(-7;0),\qquad \vec c=(10;1). \]
Найти \((\vec a+\vec b)\cdot \vec c\).
Сначала складываем векторы:
\[ \vec a+\vec b=(3+(-7);\ -2+0)=(-4;-2). \]
Теперь вычисляем скалярное произведение:
\[ (-4;-2)\cdot(10;1)=(-4)\cdot 10+(-2)\cdot 1=-40-2=-42. \]
Ответ: \(-42\).
№ 16
Дано:
\[ \vec a=(2;1),\qquad \vec b=(2;-4). \]
Найти скалярное произведение векторов \(\vec a+\vec b\) и \(7\vec a-\vec b\).
Находим первый вектор:
\[ \vec a+\vec b=(2+2;\ 1+(-4))=(4;-3). \]
Находим второй вектор:
\[ 7\vec a=(14;7), \]
\[ 7\vec a-\vec b=(14-2;\ 7-(-4))=(12;11). \]
Скалярное произведение:
\[ (4;-3)\cdot(12;11)=4\cdot 12+(-3)\cdot 11=48-33=15. \]
Ответ: \(15\).
Принцип: чтобы найти скалярное произведение векторов \((x_1;y_1)\) и \((x_2;y_2)\), нужно перемножить соответствующие координаты и сложить результаты:
\[ (x_1;y_1)\cdot(x_2;y_2)=x_1x_2+y_1y_2. \]
А при сложении и вычитании векторов действия выполняются покоординатно.
Это продолжение той же темы — теперь нужен угол между векторами. Обе задачи решаются по формуле косинуса:
\[ \cos\alpha=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|} \]
№ 22
Дано: \(\vec a(-4;2)\), \(\vec b(6;3)\).
Скалярное произведение:
\[ \vec a\cdot\vec b=(-4)\cdot 6+2\cdot 3=-24+6=-18. \]
Длины векторов:
\[ |\vec a|=\sqrt{(-4)^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5, \]
\[ |\vec b|=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt5. \]
Произведение длин:
\[ |\vec a|\cdot|\vec b|=2\sqrt5\cdot 3\sqrt5=6\cdot 5=30. \]
Значит,
\[ \cos\alpha=\frac{-18}{30}=-\frac{3}{5}=-0{,}6. \]
Ответ: \(-\frac{3}{5}\) (или \(-0{,}6\)).
№ 23
Дано: \(\vec a(1;3)\), \(\vec b(-4;12)\).
Скалярное произведение:
\[ \vec a\cdot\vec b=1\cdot(-4)+3\cdot 12=-4+36=32. \]
Длины:
\[ |\vec a|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}, \]
\[ |\vec b|=\sqrt{(-4)^2+12^2}=\sqrt{16+144}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}. \]
Произведение длин:
\[ |\vec a|\cdot|\vec b|=\sqrt{10}\cdot 4\sqrt{10}=4\cdot 10=40. \]
Тогда
\[ \cos\alpha=\frac{32}{40}=\frac{4}{5}=0{,}8. \]
Ответ: \(\frac{4}{5}\) (или \(0{,}8\)).
Принцип: в числителе — скалярное произведение (перемножаем координаты и складываем), в знаменателе — произведение длин векторов. Отрицательный косинус в № 22 означает, что угол тупой, а положительный в № 23 — что острый.
