Карточка № 1.

Кратко: а) \(x\in(4;+\infty)\); б) \(x\in(-\infty;-7]\cup[3;+\infty)\).

а) \(5x+4<9x-12\)

1. Слагаемые с \(x\) — влево, числа — вправо: \[5x-9x<-12-4\]
2. Приводим подобные: \[-4x<-16\]
3. Делим обе части на \(-4\). При делении на отрицательное число знак неравенства переворачивается: \[x>4\] Ответ: \(x\in(4;+\infty)\).

Проверка: \(x=5\): \(25+4=29\), \(45-12=33\), \(29<33\) — верно. А \(x=0\) не подходит: \(4<-12\) — ложно.

б) \(x^{2}+4x-21\ge 0\)

1. Находим нули левой части: \[x^{2}+4x-21=0,\qquad D=4^{2}-4\cdot 1\cdot(-21)=16+84=100\] \[x_{1,2}=\frac{-4\pm 10}{2},\qquad x_{1}=3,\quad x_{2}=-7\]
2. Парабола \(y=x^{2}+4x-21\) ветвями вверх, значит левее меньшего корня и правее большего значения положительны, между корнями — отрицательны.
3. Нужны значения \(\ge 0\), причём сами корни входят (неравенство нестрогое): \[x\le -7 \quad\text{или}\quad x\ge 3\] Ответ: \(x\in(-\infty;-7]\cup[3;+\infty)\).

Проверка: \(x=-8\): \(64-32-21=11\ge 0\) ✔; \(x=0\): \(-21<0\) ✘ (не входит, и это правильно); \(x=4\): \(16+16-21=11\ge 0\) ✔.

Принцип для похожих заданий: линейное неравенство решается переносом слагаемых с переменной в одну сторону; следи только за сменой знака при умножении/делении на отрицательное число. Квадратное неравенство сводится к нахождению корней и расстановке знаков параболы; скобки круглые у «выколотых» корней (строгое \(<\) или \(>\)) и квадратные — у входящих (\(\le\) или \(\ge\)).