как найти площадь треугольника?

Кратко: чаще всего площадь треугольника находят по формуле

\[ S=\frac{1}{2}ah, \]

где \(a\) — основание, а \(h\) — высота, проведённая именно к этому основанию.

Почему так. Треугольник — половина параллелограмма с тем же основанием и той же высотой. Площадь параллелограмма равна \(ah\), значит, у треугольника она вдвое меньше.

Как действовать:

1. Выбери удобную сторону за основание \(a\).
2. Проведи к ней перпендикуляр из противоположной вершины — это высота \(h\). У тупоугольного треугольника она может проходить вне фигуры, но длина всё равно берётся по перпендикуляру.
3. Вычисли \(\frac{1}{2}ah\). Площадь записывай в квадратных единицах.

Пример. Основание \(8\) см, высота \(5\) см: \[ S=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5=20\ \text{см}^2. \] Проверка: \(8\cdot5=40\) — площадь соответствующего параллелограмма, у треугольника ровно половина, то есть \(20\).

Если высота неизвестна, используют другие формулы:

• по трём сторонам — формула Герона: \[ p=\frac{a+b+c}{2},\qquad S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}; \]
• по двум сторонам и углу между ними: \[ S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma. \]

Главное — не путать высоту со стороной: высота всегда перпендикулярна выбранному основанию.