h = 2740 км, Mз = 6·10²⁴ кг, R = 6,4·10⁶ м, G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м/кг, v-?

Краткий ответ: \(v \approx 6{,}6\) км/с.

Судя по записям на доске, нужно найти скорость спутника на круговой орбите на высоте \(h\) над поверхностью Земли.

1. Радиус орбиты.
Высота отсчитывается от поверхности Земли, поэтому расстояние от центра Земли равно: \[ r=R+h=6{,}4\cdot10^6+2{,}74\cdot10^6=9{,}14\cdot10^6\ \text{м}. \]

2. Почему получается такая формула.
Сила тяготения сообщает спутнику центростремительное ускорение: \[ G\frac{M_з m}{(R+h)^2}=\frac{mv^2}{R+h}. \] Масса спутника \(m\) сокращается, тогда: \[ v^2=\frac{GM_з}{R+h}, \qquad v=\sqrt{\frac{GM_з}{R+h}}. \]

3. Вычисление. \[ GM_з=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24} =4{,}002\cdot10^{14}. \] \[ v=\sqrt{\frac{4{,}002\cdot10^{14}}{9{,}14\cdot10^6}} \approx6{,}62\cdot10^3\ \text{м/с}. \]

То есть: \[ v\approx6{,}6\ \text{км/с}. \]

Проверка. Если подставить \(h=0\), получится примерно \(7{,}9\) км/с — известная первая космическая скорость у поверхности Земли. На высоте скорость меньше, значит результат \(6{,}6\) км/с правдоподобен. Масса спутника в ответ не входит.