6. Реши задачу: Дан треугольник ABC, в котором AC = BC. Биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке D. Докажи, что CD является медианой и высотой треугольника ABC.

Краткий ответ

Треугольники \(ACD\) и \(BCD\) равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда \(AD = DB\) — значит, \(CD\) медиана, и \(\angle ADC = \angle BDC = 90^\circ\) — значит, \(CD\) высота.

Решение по шагам

1. Что дано. \(AC = BC\), то есть треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AB\). Луч \(CD\) делит угол \(C\) пополам: \(\angle ACD = \angle BCD\). Точка \(D\) лежит на стороне \(AB\).

2. Сравниваем два треугольника — \(ACD\) и \(BCD\):

• \(AC = BC\) — по условию;
• \(CD\) — общая сторона;
• \(\angle ACD = \angle BCD\) — так как \(CD\) биссектриса.

Значит, \(\triangle ACD = \triangle BCD\) по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними).

3. Медиана. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, поэтому \[ AD = DB. \] Точка \(D\) делит \(AB\) пополам, то есть \(CD\) — медиана.

4. Высота. Из равенства треугольников также \(\angle ADC = \angle BDC\). Но эти углы смежные: лучи \(DA\) и \(DB\) противоположны, поэтому \[ \angle ADC + \angle BDC = 180^\circ, \qquad \angle ADC = \angle BDC = 90^\circ. \] Значит, \(CD \perp AB\), то есть \(CD\) — высота.

5. Проверка. Оба вывода опираются на одно и то же равенство треугольников, поэтому противоречий нет. Полученный результат — это известное свойство: в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, одновременно является медианой и высотой.

Идея, которую стоит запомнить: чтобы доказать «медианность» или «перпендикулярность» отрезка, разбей фигуру на два треугольника и докажи их равенство — все нужные равенства элементов получаются автоматически.