219. Является ли четырёхугольник ABCD, изображённый на рисунке 74, трапецией? В случае утвердительного ответа укажите основания и боковые стороны трапеции.

Question

Реши

Расшифровка фото нейросетью:
219. Является ли четырёхугольник ABCD, изображённый на рисунке 74, трапецией? В случае утвердительного ответа укажите основания и боковые стороны трапеции.
Рис. 74.
а) Четырёхугольник ABCD; отмечены прямые углы при вершинах A и B.
б) Четырёхугольник ABCD; угол A = 70°, угол B = 105°, угол D = 60°.
в) Треугольник ADE; B лежит на стороне AE, C — на стороне DE; K лежит на AD, F — на BC; проведена прямая KE, проходящая через F; при K и F отмечены прямые углы.

Answer

Краткий ответ:

а) да; основания — $AD$ и $BC$, боковые стороны — $AB$ и $CD$;

б) нет;

в) да; основания — $AD$ и $BC$, боковые стороны — $AB$ и $CD$.

Разбор:

Используем признак: если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. Также если сумма внутренних односторонних углов при секущей равна $180^\circ$, прямые параллельны.

а) Отмечены прямые углы при вершинах $A$ и $B$, то есть
$$
AD\perp AB,\qquad BC\perp AB.
$$
Значит, $AD\parallel BC$. Это трапеция с основаниями $AD$, $BC$ и боковыми сторонами $AB$, $CD$.

б) Сумма углов четырёхугольника $360^\circ$, поэтому
$$
\angle C=360^\circ-(70^\circ+105^\circ+60^\circ)=125^\circ.
$$
Если бы $AD\parallel BC$, то $\angle A+\angle B=180^\circ$, но
$$
70^\circ+105^\circ=175^\circ.
$$
Если бы $AB\parallel CD$, то $\angle A+\angle D=180^\circ$, но
$$
70^\circ+60^\circ=130^\circ.
$$
Значит, ни одна пара противоположных сторон не параллельна. Это не трапеция, хотя рисунок может вводить в заблуждение.

в) На рисунке
$$
KF\perp AD,\qquad KF\perp BC.
$$
Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны, поэтому $AD\parallel BC$. Это трапеция с основаниями $AD$, $BC$ и боковыми сторонами $AB$, $CD$.