а) Найдите вероятность события A. б) Найдите вероятность события B. в) Найдите вероятность события A∩B.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
[Рисунок: прямоугольник; внутри него две пересекающиеся окружности. Слева от левой окружности написано A, справа от правой — B. В области, принадлежащей только A, стоит 18; в общей области окружностей — 6; в области, принадлежащей только B, — 12; вне окружностей, но внутри прямоугольника — 24.]
а) Найдите вероятность события A.
б) Найдите вероятность события B.
в) Найдите вероятность события $A\cap B$.
г) Найдите вероятность события $A\cup B$.
д) Найдите вероятность события $\overline{A}\cap B$.
е) Найдите вероятность события $A\cap\overline{B}$.
ж) Найдите вероятность события $\overline{A}\cup B$.
з) Найдите вероятность события $A\cup\overline{B}$.
и) Найдите вероятность события $\overline{A}\cap\overline{B}$.
к) Найдите вероятность события $\overline{A}\cup\overline{B}$.

Answer

Краткий ответ (для нижней диаграммы, где в областях стоят $18$, $6$, $12$, а вне кругов — $24$):

$$
N=18+6+12+24=60.
$$

Событие |
Число исходов |
Вероятность |

а) $A$ |
$18+6=24$ |
$\frac{24}{60}=0{,}4$ |

б) $B$ |
$12+6=18$ |
$\frac{18}{60}=0{,}3$ |

в) $A\cap B$ |
$6$ |
$\frac{6}{60}=0{,}1$ |

г) $A\cup B$ |
$18+6+12=36$ |
$\frac{36}{60}=0{,}6$ |

д) $\overline{A}\cap B$ |
$12$ |
$\frac{12}{60}=0{,}2$ |

е) $A\cap\overline{B}$ |
$18$ |
$\frac{18}{60}=0{,}3$ |

ж) $\overline{A}\cup B$ |
$6+12+24=42$ |
$\frac{42}{60}=0{,}7$ |

з) $A\cup\overline{B}$ |
$18+6+24=48$ |
$\frac{48}{60}=0{,}8$ |

и) $\overline{A}\cap\overline{B}$ |
$24$ |
$\frac{24}{60}=0{,}4$ |

к) $\overline{A}\cup\overline{B}$ |
$18+12+24=54$ |
$\frac{54}{60}=0{,}9$ |

Как понять принцип

Каждое число на диаграмме — это количество равновозможных исходов в этой области. Всего исходов:
$$
N=18+6+12+24=60.
$$
Поэтому для любого события $X$:
$$
P(X)=\frac{n(X)}{N},
$$
где $n(X)$ — число исходов, входящих в $X$.

Обозначения: $\cap$ — «и», $\cup$ — «или (хотя бы одно)», $\overline{A}$ — «$A$ не произошло».

Что входит в события:

$A$ — «только $A$» плюс пересечение;

$B$ — «только $B$» плюс пересечение;

$A\cap B$ — общая часть;

$A\cup B$ — всё внутри хотя бы одного круга;

$\overline{A}\cap B$ — «только $B$»;

$A\cap\overline{B}$ — «только $A$»;

$\overline{A}\cap\overline{B}$ — вне обоих кругов.

Для событий ж), з), к) проще перейти к противоположному событию:
$$
\overline{A}\cup B=\overline{A\cap\overline{B}},\qquad
A\cup\overline{B}=\overline{\overline{A}\cap B},\qquad
\overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A\cap B}.
$$
Например:
$$
P(\overline{A}\cup B)=1-P(A\cap\overline{B})=1-0{,}3=0{,}7.
$$

Проверка

$$
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}4+0{,}3-0{,}1=0{,}6.
$$
И сумма вероятностей четырёх непересекающихся областей:
$$
0{,}3+0{,}1+0{,}2+0{,}4=1.
$$
Всё сходится.

Верхняя схема — такая же задача, но вместо чисел в областях стоят точки. По этому фото точки слишком мелкие, чтобы надёжно посчитать их в каждой области, поэтому я не подставляю угаданные числа. Если нужна и она, пришли крупный фрагмент верхней схемы.

Событие	Число исходов	Вероятность
а) \(A\)	\(18+6=24\)	\(\frac{24}{60}=0{,}4\)
б) \(B\)	\(12+6=18\)	\(\frac{18}{60}=0{,}3\)
в) \(A\cap B\)	\(6\)	\(\frac{6}{60}=0{,}1\)
г) \(A\cup B\)	\(18+6+12=36\)	\(\frac{36}{60}=0{,}6\)
д) \(\overline{A}\cap B\)	\(12\)	\(\frac{12}{60}=0{,}2\)
е) \(A\cap\overline{B}\)	\(18\)	\(\frac{18}{60}=0{,}3\)
ж) \(\overline{A}\cup B\)	\(6+12+24=42\)	\(\frac{42}{60}=0{,}7\)
з) \(A\cup\overline{B}\)	\(18+6+24=48\)	\(\frac{48}{60}=0{,}8\)
и) \(\overline{A}\cap\overline{B}\)	\(24\)	\(\frac{24}{60}=0{,}4\)
к) \(\overline{A}\cup\overline{B}\)	\(18+12+24=54\)	\(\frac{54}{60}=0{,}9\)