219. Является ли четырёхугольник ABCD, изображённый на рисунке 74, трапецией? В случае утвердительного ответа укажите основания и боковые стороны трапеции.

Question

Реши

Расшифровка фото нейросетью:
219. Является ли четырёхугольник ABCD, изображённый на рисунке 74, трапецией? В случае утвердительного ответа укажите основания и боковые стороны трапеции.

Рис. 74
а) Четырёхугольник $ABCD$; отмечены прямые углы $\angle DAB$ и $\angle ABC$.
б) Четырёхугольник $ABCD$; $\angle DAB=70^\circ$, $\angle ABC=105^\circ$, $\angle CDA=60^\circ$.
в) Треугольник $ADE$; точки $B$ и $C$ лежат на $AE$ и $DE$, точка $K$ — на $AD$, точка $F$ — на $BC$; точки $K$, $F$, $E$ лежат на одной прямой; отмечены прямые углы при $K$ и $F$.

Answer

Краткий ответ

а) да, это трапеция: основания $AD$ и $BC$, боковые стороны $AB$ и $CD$;

б) нет, не трапеция;

в) да, это трапеция: основания $AD$ и $BC$, боковые стороны $AB$ и $CD$.

Почему так

Трапеция — четырёхугольник, у которого есть пара параллельных противоположных сторон. Параллельность удобно проверять по углам: если сумма внутренних односторонних углов при секущей равна $180^\circ$, то прямые параллельны.

а) $\angle DAB=90^\circ$, $\angle ABC=90^\circ$. Значит, $AD$ и $BC$ обе перпендикулярны $AB$, поэтому
$$
AD\parallel BC.
$$
Это основания. Вторая пара сторон $AB$ и $CD$ не параллельна, значит, это боковые стороны.

б) По рисунку:
$$
\angle A=70^\circ,\qquad \angle B=105^\circ,\qquad \angle D=60^\circ.
$$
Тогда
$$
\angle C=360^\circ-(70^\circ+105^\circ+60^\circ)=125^\circ.
$$

Проверяем возможные основания:

если $AD\parallel BC$, то должно быть $\angle A+\angle B=180^\circ$, но $70^\circ+105^\circ=175^\circ$;

если $AB\parallel CD$, то должно быть $\angle A+\angle D=180^\circ$, но $70^\circ+60^\circ=130^\circ$.

Ни одна пара противоположных сторон не параллельна, поэтому $ABCD$ — не трапеция.

в) Точки $K$, $F$, $E$ лежат на одной прямой. Прямые углы при $K$ и $F$ показывают, что
$$
AD\perp KFE,\qquad BC\perp KFE.
$$
Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны, поэтому
$$
AD\parallel BC.
$$
Значит, основания — $AD$ и $BC$, боковые стороны — $AB$ и $CD$. Стороны $AB$ и $CD$ лежат на прямых, сходящихся в точке $E$, поэтому они не параллельны.

Проверка: в пункте а) $90^\circ+90^\circ=180^\circ$; в пункте в) обе стороны перпендикулярны одной прямой; в пункте б) нужные суммы не равны $180^\circ$. Ответы согласуются с рисунками.