486 В прямоугольнике ABCD найдите: а) AD, если AB = 5, AC = 13; б) BC, если CD = 1,5, AC = 2,5; в) CD, если BD = 17, BC = 15.

На фото два номера — 486 и 487. Решу оба.

Краткие ответы:

• 486. а) \(AD=12\); б) \(BC=2\); в) \(CD=8\).
• 487. Высота равна \(15\) см.

486. Прямоугольник \(ABCD\)

В прямоугольнике все углы прямые, а противоположные стороны равны. Поэтому сторона и диагональ образуют прямоугольный треугольник, где диагональ — гипотенуза. Работает теорема Пифагора: \[ c^2=a^2+b^2. \]

а) Рассмотрим \(\triangle ABC\): \(\angle B=90^\circ\), \(AC=13\) — гипотенуза, \(AB=5\) — катет. \[ BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12. \] Противоположные стороны равны, поэтому \(AD=BC=12\).

б) В прямоугольнике \(CD=AB=1{,}5\). В \(\triangle ABC\) гипотенуза \(AC=2{,}5\), катет \(AB=1{,}5\). \[ BC=\sqrt{2{,}5^2-1{,}5^2}=\sqrt{6{,}25-2{,}25}=\sqrt{4}=2. \]

в) В \(\triangle BCD\) угол \(C\) прямой, \(BD=17\) — гипотенуза, \(BC=15\) — катет. \[ CD=\sqrt{BD^2-BC^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8. \]

487. Равнобедренный треугольник

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой. Значит, она делит основание пополам: \[ AH=\frac{16}{2}=8\text{ см}. \] Дальше рассматриваем прямоугольный треугольник, где боковая сторона \(17\) см — гипотенуза, а половина основания \(8\) см и высота \(h\) — катеты: \[ h=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15\text{ см}. \]

Проверка: \(5^2+12^2=169=13^2\); \(1{,}5^2+2^2=6{,}25=2{,}5^2\); \(15^2+8^2=289=17^2\); \(8^2+15^2=289=17^2\). Всё сходится.

Общий приём: найди прямоугольный треугольник, в котором известны две стороны, и подставь их в теорему Пифагора. Диагональ прямоугольника или боковая сторона равнобедренного треугольника часто оказывается гипотенузой.