Второй признак равенства треугольников

Краткий ответ

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам, сокращённо УСУ):

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Коротко записывают так: \[ AB=A_1B_1,\quad \angle A=\angle A_1,\quad \angle B=\angle B_1 \;\Rightarrow\; \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1 . \]

Что значит «прилежащие»

Углы прилежат к стороне, если эта сторона — их общая сторона, то есть её концы являются вершинами этих углов.

Для стороны \(AB\) прилежащие углы — это \(\angle A\) и \(\angle B\). А вот \(\angle C\) к стороне \(AB\) не прилежит: у него общая сторона с другими сторонами.

Почему признак работает (идея доказательства — наложение)

1. Накладываем сторону \(AB\) на \(A_1B_1\): точка \(A\) попадает в \(A_1\), точка \(B\) — в \(B_1\). Это можно сделать, потому что \(AB=A_1B_1\).
2. Так как \(\angle A=\angle A_1\), луч \(AC\) пойдёт по лучу \(A_1C_1\).
3. Так как \(\angle B=\angle B_1\), луч \(BC\) пойдёт по лучу \(B_1C_1\).
4. Два луча \(A_1C_1\) и \(B_1C_1\) пересекаются ровно в одной точке — значит, точка \(C\) обязана попасть в \(C_1\).

Все три вершины совпали, значит, треугольники полностью совместились, то есть равны. Главная мысль: заданной информации хватает, чтобы треугольник «собрался» единственным способом.

Как применять при решении

Ищи в чертеже «одна сторона + по углу на каждом её конце».

Образец записи. Дано: \(\angle A=\angle A_1=40^\circ\), \(\angle B=\angle B_1=60^\circ\), \(AB=A_1B_1=5\) см.

Решение: сторона \(AB\) равна стороне \(A_1B_1\), а прилежащие к ней углы попарно равны, значит, \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\) по второму признаку.

Полезный нюанс. Если равны два угла, то равен и третий (сумма углов треугольника \(180^\circ\)). Поэтому в задачах иногда удобно пересчитать, какие углы к какой стороне прилежат — от этого зависит, к какой паре углов «привязать» равную сторону.

Частая ошибка

Не путать со первым признаком:

• первый признак — две стороны и угол между ними;
• второй признак — одна сторона и два угла, прилежащих именно к ней.

Проверка

Возьмём \(AB=5\) см, \(\angle A=40^\circ\), \(\angle B=60^\circ\) (тогда \(\angle C=80^\circ\)). Луч из \(A\) под углом \(40^\circ\) к \(AB\) и луч из \(B\) под углом \(60^\circ\) к \(AB\) пересекаются в единственной точке — значит, треугольник с такими данными всего один. Поэтому любые два треугольника с такими элементами совпадут при наложении, что и подтверждает признак.