2. y' = cos x
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- \(y'=\cos x\)
\(\frac{dy}{dx}=\cos x\)
\(dy=\cos x\,dx\)
\(dy=\int \cos x\,dx\)
\(y=\) [обрезано]
Краткий ответ: \[ y=\sin x+C, \] где \(C\) — произвольная постоянная.
Как решать:
Записываем производную через дифференциалы: \[ y'=\frac{dy}{dx}, \] поэтому \[ \frac{dy}{dx}=\cos x. \]
Умножаем обе части на \(dx\): \[ dy=\cos x\,dx. \]
Интегрируем обе части: \[ \int dy=\int \cos x\,dx. \] Слева получаем \(y\), справа — \(\sin x+C\): \[ y=\sin x+C. \]
Важно: в тетради записано \(dy=\int \cos x\,dx\). После интегрирования слева должно быть именно \(\int dy\), то есть \(y\), а не \(dy\).
Проверка: \[ y'=(\sin x+C)'=\cos x. \] Всё сходится. Постоянная \(C\) нужна, потому что без начального условия существует бесконечно много первообразных.
