Реши 251 и сделай дано, чертёж и решение

Краткий ответ

\[AB = BC = CD = 12\ \text{см}\] (\(AD = 24\) см — по условию). То есть три стороны трапеции равны 12 см.

Дано: трапеция \(ABCD\), \(AD \parallel BC\), \(AB = CD\), \(AD = 24\) см, \(\angle ADB = \angle CDB\), периметр \(P = 60\) см. Найти: \(AB\), \(BC\), \(CD\).

Чертёж (\(BD\) — диагональ, она же биссектриса угла \(D\)):

      B ——————— C
     /  \        \
    /    \        \
   A ———————— D

Решение по шагам

1. Равенство боковых сторон. В трапеции \(ABCD\) основания — \(AD\) и \(BC\), боковые — \(AB\) и \(CD\). По условию \(AB = CD\), значит трапеция равнобедренная.

2. Ключевой момент: доказываем \(BC = CD\). Так как \(AD \parallel BC\), а \(BD\) — секущая, то накрест лежащие углы равны: \[\angle ADB = \angle DBC\] По условию \(\angle ADB = \angle CDB\), следовательно: \[\angle CDB = \angle DBC\] Это углы треугольника \(BCD\) при вершинах \(D\) и \(B\). Против равных углов лежат равные стороны, поэтому \[BC = CD\] (треугольник \(BCD\) равнобедренный с основанием \(BD\)).

3. Составляем уравнение по периметру. Из пунктов 1–2 все три «короткие» стороны равны, обозначим их \(x\): \[AB = BC = CD = x\] Периметр: \[AD + AB + BC + CD = 60\] \[24 + 3x = 60 \quad\Rightarrow\quad 3x = 36 \quad\Rightarrow\quad x = 12\]

Ответ: \(AB = 12\) см, \(BC = 12\) см, \(CD = 12\) см, \(AD = 24\) см.

Проверка

• Периметр: \(24 + 12 + 12 + 12 = 60\) см — сходится.
• Углы: проекция боковой стороны на \(AD\) равна \(\frac{24-12}{2} = 6\), значит \(\cos\angle D = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\), то есть \(\angle D = 60^\circ\). Тогда диагональ \(BD\) даёт \(\angle CDB = 30^\circ\) и \(\angle ADB = 30^\circ\) — условие \(\angle ADB = \angle CDB\) выполнено. Трапеция существует (высота \(6\sqrt{3}\)).

Принцип, который стоит запомнить

1. Равные боковые стороны ⇒ равнобедренная трапеция.
2. Параллельные основания + секущая (диагональ) ⇒ накрест лежащие углы равны — это самый частый «мостик» к равнобедренному треугольнику.
3. Дальше — обозначить равные стороны через \(x\) и записать периметр как уравнение.